№ 4 OK = 6 см, угол MON = 120°. Найти радиус окружности.

Решение:

В данном задании нам дана окружность с центром в точке O. KM и KN — касательные к окружности, проведенные из точки K. Точки касания — M и N.

Дано:

• OK = 6 см
• \( \angle MON = 120^{\circ} \)

Найти:

• Радиус окружности (r)

Ход решения:

1. Рассмотрим четырехугольник OMK N. Углы \( \angle OMK \) и \( \angle ONK \) равны 90°, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

2. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Следовательно, \( \angle MKN + \angle OMK + \angle MON + \angle ONK = 360^{\circ} \).

\( \angle MKN + 90^{\circ} + 120^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \).

\( \angle MKN + 300^{\circ} = 360^{\circ} \).

\( \angle MKN = 60^{\circ} \).

3. Рассмотрим треугольник OMK. Он является прямоугольным (\( \angle OMK = 90^{\circ} \)). OK — гипотенуза, OM — катет (радиус окружности).

4. Треугольники OMK и ONK равны по гипотенузе и острому углу (OK — общая гипотенуза, \( \angle MOK = \angle NOK = \frac{1}{2} \angle MON = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ} \)).

5. В прямоугольном треугольнике OMK, катет OM (радиус) лежит напротив угла \( \angle MKN \) (который равен 60/2 = 30 градусов, если OK биссектриса). Более того, \( \angle MOK = 60^{\circ} \).

6. Используем тригонометрию в треугольнике OMK:

\( \sin(\angle MOK) = \frac{OM}{OK} \) (где OM — противолежащий катет, OK — гипотенуза).

\( \sin(60^{\circ}) = \frac{r}{6} \).

\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{6} \).

7. Выразим радиус r:

\( r = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( r = 3\sqrt{3} \) см.

Ответ: Радиус окружности равен \( 3\sqrt{3} \) см.