480. На сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что AM = CP, BM = DP, BN = DQ, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.

Обозначим длины сторон через \(AB=a\), \(BC=b\), \(CD=c\), \(DA=d\).

1. Так как точки \(M\) и \(P\) лежат соответственно на сторонах \(AB\) и \(CD\), из условий \(AM=CP\) и \(BM=DP\) получаем:

   \(AM+BM=AB\), \(CP+DP=CD\), поэтому \(AB=CD\).

2. Аналогично, из условий \(BN=DQ\) и \(NC=QA\):

   \(BN+NC=BC\), \(DQ+QA=DA\), поэтому \(BC=DA\).

3. В четырёхугольнике \(ABCD\) обе пары противоположных сторон равны: \(AB=CD\) и \(BC=DA\). Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.

4. Пусть \(AM=t\cdot AB\), а \(BN=u\cdot BC\), где \(0\leq t,u\leq1\). Из равенств \(AM=CP\), \(BM=DP\) следует, что \(CP=t\cdot CD\), то есть точки \(M\) и \(P\) делят противоположные стороны в одинаковом отношении. Аналогично из равенств \(BN=DQ\), \(NC=QA\) следует, что \(N\) и \(Q\) делят противоположные стороны в одинаковом отношении.

   Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то \(\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}\). Поэтому

   \[\overrightarrow{MN}=(1-t)\overrightarrow{AB}+u\overrightarrow{BC},\]

   \[\overrightarrow{QP}=(1-t)\overrightarrow{AB}+u\overrightarrow{BC}.\]

   Значит, \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}\).

   Кроме того,

   \[\overrightarrow{NP}=-t\overrightarrow{AB}+(1-u)\overrightarrow{BC},\]

   \[\overrightarrow{MQ}=-t\overrightarrow{AB}+(1-u)\overrightarrow{BC}.\]

   Следовательно, \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}\).

У четырёхугольника \(MNPQ\) противоположные стороны попарно равны и параллельны. Следовательно, \(MNPQ\) — параллелограмм.

Ответ: ABCD и MNPQ — параллелограммы.