47. Решите пропорцию $$3\frac{2}{3}x:5\frac{3}{4}=2\frac{11}{23}:5\frac{2}{11}$$.

Разберем пропорцию по частям.

Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$$3\frac{2}{3} = \frac{3 \times 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$$

$$5\frac{3}{4} = \frac{5 \times 4 + 3}{4} = \frac{23}{4}$$

$$2\frac{11}{23} = \frac{2 \times 23 + 11}{23} = \frac{46 + 11}{23} = \frac{57}{23}$$

$$5\frac{2}{11} = \frac{5 \times 11 + 2}{11} = \frac{55 + 2}{11} = \frac{57}{11}$$

Теперь запишем пропорцию с неправильными дробями:

$$\frac{11}{3}x : \frac{23}{4} = \frac{57}{23} : \frac{57}{11}$$

Вспомним свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. В нашем случае это:

$$\frac{11}{3}x \cdot \frac{57}{11} = \frac{23}{4} \cdot \frac{57}{23}$$

Упростим левую часть:

$$\frac{11x}{3} \cdot \frac{57}{11} = \frac{x}{3} \cdot 57 = 19x$$

Упростим правую часть:

$$\frac{23}{4} \cdot \frac{57}{23} = \frac{1}{4} \cdot 57 = \frac{57}{4}$$

Получаем простое уравнение:

$$19x = \frac{57}{4}$$

Теперь найдем $$x$$, разделив обе стороны на 19:

$$x = \frac{57}{4} : 19$$

$$x = \frac{57}{4} \cdot \frac{1}{19}$$

$$x = \frac{57}{76}$$

Можно сократить дробь, так как 57 = 3 * 19 и 76 = 4 * 19:

$$x = \frac{3 \cdot 19}{4 \cdot 19} = \frac{3}{4}$$

Ответ: $$x = \frac{3}{4}$$.