47. Найдите боковое ребро пирамиды. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 10 дм и 2 дм, а ее высота 2 дм.

Решение:

Обозначим стороны оснований как \( a = 10 \) дм и \( b = 2 \) дм. Высота пирамиды \( h = 2 \) дм.

Для нахождения бокового ребра нам понадобится апофема. Апофема \( l \) усеченной пирамиды связана с высотой \( h \) и разностью радиусов вписанных окружностей оснований. Так как основания — квадраты, радиусы вписанных окружностей равны половине стороны.

Радиус большей вписанной окружности \( r_1 = \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) дм.

Радиус меньшей вписанной окружности \( r_2 = \frac{b}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) дм.

Апофема \( l \) находится по теореме Пифагора: \( l^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2 \)

\[ l^2 = 2^2 + (5 - 1)^2 \]

\[ l^2 = 4 + 4^2 \]

\[ l^2 = 4 + 16 \]

\[ l^2 = 20 \]

\[ l = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \) дм.

Теперь рассмотрим боковую грань. Это трапеция. Высота боковой грани — апофема \( l \). Боковое ребро \( s \) можно найти, если провести высоту в этой трапеции, которая будет равна высоте боковой грани, а половина разности оснований боковой грани будет равна разности радиусов вписанных окружностей. Однако, для усеченной пирамиды, боковое ребро \( s \) связано с апофемой \( l \) и половиной разности сторон оснований. Нам нужно найти апофему большого основания, но для этого нужно знать, где находится центр большого основания относительно меньшего. В правильной усеченной пирамиде центры оснований лежат на одной прямой, перпендикулярной основаниям.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( h \), проекцией бокового ребра на основание и самим боковым ребром. Проекция бокового ребра на основание равна разности радиусов описанных окружностей. Радиус большей описанной окружности \( R_1 = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \) дм. Радиус меньшей описанной окружности \( R_2 = \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \) дм. Проекция бокового ребра \( p = R_1 - R_2 = 5\sqrt{2} - \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \) дм.

Тогда боковое ребро \( s \) равно:

\[ s^2 = h^2 + p^2 \]

\[ s^2 = 2^2 + (4\sqrt{2})^2 \]

\[ s^2 = 4 + 16 \cdot 2 \]

\[ s^2 = 4 + 32 \]

\[ s^2 = 36 \]

\[ s = 6 \) дм.

Альтернативный способ:

Рассмотрим осевое сечение усеченной пирамиды. Это равнобедренная трапеция. Верхнее основание равно \( b=2 \) дм, нижнее основание равно \( a=10 \) дм, высота \( h=2 \) дм. Боковая сторона этой трапеции — боковое ребро \( s \) усеченной пирамиды.

Опустим из вершин верхнего основания перпендикуляры на нижнее основание. Тогда в нижнем основании получится отрезок длиной \( b=2 \) дм, а оставшиеся два отрезка по краям будут равны \( \frac{a-b}{2} = \frac{10-2}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) дм.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, где:

• Один катет — высота трапеции (высота пирамиды) \( h = 2 \) дм.
• Другой катет — половина разности оснований трапеции (половина разности оснований пирамиды) \( \frac{a-b}{2} = 4 \) дм.
• Гипотенуза — боковая сторона трапеции (боковое ребро пирамиды) \( s \).

По теореме Пифагора:

\[ s^2 = h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 \]

\[ s^2 = 2^2 + 4^2 \]

\[ s^2 = 4 + 16 \]

\[ s^2 = 20 \]

\[ s = \(\sqrt{20}\) = 2\(\sqrt{5}\) \) дм.

Примечание: Первый расчет с радиусами описанных окружностей был ошибочен, так как он предполагает, что боковое ребро проецируется на разность радиусов описанных окружностей. Правильный подход — это осевое сечение.

Ответ: 2√5 дм.