461 Монету бросили 100 раз. Орёл выпал 62 раза. Проверьте гипотезу «монета симметрична» на уровне значимости:

Решение:

Проверяем гипотезу \( H_0 \): монета симметрична (вероятность выпадения орла \( p = 0,5 \)) против альтернативной гипотезы \( H_1 \): монета несимметрична (\( p \neq 0,5 \)).

В данном случае \( n = 100 \) (количество бросков), \( k = 62 \) (количество орлов).

а) на уровне значимости \( \alpha = 0,05 \)

При \( n \) большом, можно использовать нормальное приближение биномиального распределения. Среднее \( \mu = np = 100 \cdot 0,5 = 50 \). Стандартное отклонение \( \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \cdot 0,5 \cdot 0,5} = \sqrt{25} = 5 \).

Рассчитаем z-статистику: \( z = \frac{k - np}{\sigma} = \frac{62 - 50}{5} = \frac{12}{5} = 2,4 \).

Для двустороннего теста при \( \alpha = 0,05 \) критические значения \( z_{\text{кр}} \) находятся в области \( \pm 1,96 \). Так как \( |2,4| > 1,96 \), мы отвергаем нулевую гипотезу.

б) на уровне значимости \( \alpha = 0,01 \)

Для двустороннего теста при \( \alpha = 0,01 \) критические значения \( z_{\text{кр}} \) находятся в области \( \pm 2,576 \). Так как \( |2,4| < 2,576 \), мы не отвергаем нулевую гипотезу.

Ответ: а) гипотеза отвергается; б) гипотеза не отвергается.