461. а) Решите уравнение (√3 sin x - 2 sin²x)·log₆(-tg x) = 0 .

Привет! Давай разберем это уравнение вместе. Оно состоит из двух множителей, и чтобы произведение было равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.

Условие для существования логарифма:

Сначала вспомним, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. Значит, -tg x > 0, что эквивалентно tg x < 0. Это условие выполняется в II и IV координатных четвертях.

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: Первый множитель равен нулю

\[ \sqrt{3} \sin x - 2 \sin^2 x = 0 \]

Вынесем \( \sin x \) за скобки:

\[ \sin x (\sqrt{3} - 2 \sin x) = 0 \]

Это дает нам два варианта:

1. \[ \sin x = 0 \]

Корни этого уравнения: \( x = \pi n \), где \( n \) — целое число. Однако, при этих значениях \( x \), \( \text{tg } x = 0 \), что не удовлетворяет условию \( \text{tg } x < 0 \). Поэтому эти корни нам не подходят.

2. \[ \sqrt{3} - 2 \sin x = 0 \]

\[ 2 \sin x = \sqrt{3} \]

\[ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Это стандартное значение синуса. Решениями будут:

\[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{и} \quad x = \\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{(где k - целое число)} \]

Проверим условие \( \text{tg } x < 0 \) для этих корней.

• Для \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), \( \text{tg } x = \text{tg } \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \). Это не удовлетворяет условию \( \text{tg } x < 0 \).
• Для \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), \( \text{tg } x = \text{tg } \frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3} \). Это удовлетворяет условию \( \text{tg } x < 0 \).

Итак, из первого множителя мы получаем корни: \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \).

Случай 2: Второй множитель равен нулю

\[ \log_6(-\text{tg } x) = 0 \]

По определению логарифма, если \( \log_a b = 0 \), то \( b = a^0 = 1 \).

\[ -\text{tg } x = 1 \]

\[ \text{tg } x = -1 \]

Это также стандартное значение тангенса. Решениями будут:

\[ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \quad \text{(где n - целое число)} \]

Проверим условие \( \text{tg } x < 0 \). Для \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), \( \text{tg } x = -1 \), что удовлетворяет условию \( \text{tg } x < 0 \).

Объединяем решения:

Из первого множителя: \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \).

Из второго множителя: \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \).

Ответ: \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \) и \( x = -\(\frac{\pi}{4}\) +