458 Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объём призмы.

Решение:

Чтобы найти объём призмы, нам нужно знать площадь основания и высоту призмы. Формула объёма призмы: V = S_осн * H.

1. Находим высоту призмы (H):

   Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы (d) равна 8 см. Угол между этой диагональю и боковым ребром (H) равен 30°.

   В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю призмы, боковым ребром (высотой) и диагональю основания, высота (H) является прилежащим катетом к углу 30°, а диагональ основания (D_осн) — противолежащим.

   Мы можем использовать тангенс угла:

   tg(30°) = D_осн / H

   D_осн = H * tg(30°)

   Также, в том же треугольнике, диагональ призмы (d) — это гипотенуза.

   cos(30°) = H / d

   Отсюда, H = d * cos(30°).

   Подставляем значение диагонали: H = 8 см * cos(30°) = 8 * (√3 / 2) = 4√3 см.

2. Находим диагональ основания (D_осн):

   Теперь используем найденную высоту и угол:

   D_осн = H * tg(30°) = 4√3 * (1 / √3) = 4 см.

3. Находим сторону основания (a):

   Диагональ правильного шестиугольника, соединяющая две вершины через одну, равна удвоенной стороне шестиугольника. То есть, D_осн = 2 * a.

   4 см = 2 * a

   a = 4 см / 2 = 2 см.

4. Находим площадь основания (S_осн):

   Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле: S_осн = (3√3 / 2) * a².

   S_осн = (3√3 / 2) * (2 см)² = (3√3 / 2) * 4 см² = 6√3 см².

5. Находим объём призмы (V):

   V = S_осн * H

   V = 6√3 см² * 4√3 см = 24 * 3 см³ = 72 см³.

Ответ: 72 см³