45. Вычислите предел функции: lim x->-3 (x^2-9)/(x+3)

Решение:

Дан предел функции:

\[ \lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x + 3} \]

При подстановке \( x = -3 \) получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \).

Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \):

\[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \]

Теперь подставим разложенное выражение в предел:

\[ \lim_{x \to -3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} \]

Сократим общий множитель \( (x + 3) \) в числителе и знаменателе:

\[ \lim_{x \to -3} (x - 3) \]

Теперь можем подставить \( x = -3 \) в упрощённое выражение:

\[ -3 - 3 = -6 \]

Ответ: -6