44. Вычислите предел функции: lim(x→2) (x^2+x-6)/(x-2)

Решение:

При подстановке \( x = 2 \) в числитель и знаменатель дроби получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \).

Разложим числитель на множители. Для этого найдём корни уравнения \( x^2 + x - 6 = 0 \):

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \]

Корни: \( x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \).

Значит, \( x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) \).

Теперь вычислим предел:

\[ \lim_{x\to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2} = \lim_{x\to 2} \frac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} \]

Сокращаем \( (x - 2) \) (так как \( x \to 2 \), то \( x \neq 2 \)):

\[ \lim_{x\to 2} (x + 3) \]

Подставляем \( x = 2 \):

\[ 2 + 3 = 5 \]

Ответ: 5.