Контрольные задания
Вопрос:

432. Решите систему уравнений: а) x + y = 8, xy = −20; б) x − y = 0,8, xy = 2,4; в) x² − y² = 8, x − y = 4; г) x² + y² = 5, x + y = −3.

Фото задания: 432. Решите систему уравнений: а) x + y = 8, xy = −20; б) x − y = 0,8, xy = 2,4; в) x² − y² = 8, x − y = 4; г) x² + y² = 5, x…Фото задания

Ответ:

  1. а) По формулам Виета числа \(x\) и \(y\) являются корнями уравнения \(t^2-8t-20=0\).

    \(D=64+80=144\), поэтому \(t=\frac{8\pm12}{2}\). Следовательно, \(t_1=10\), \(t_2=-2\).

    Ответ: \((x,y)=(10,-2)\), \((-2,10)\).

  2. б) Из первого уравнения \(x=y+0.8\). Тогда \(y(y+0.8)=2.4\), то есть \(y^2+0.8y-2.4=0\).

    \(D=0.64+9.6=10.24\), \(\sqrt D=3.2\). Поэтому \(y=\frac{-0.8\pm3.2}{2}\): \(y=1.2\) или \(y=-2\).

    При \(y=1.2\): \(x=2\); при \(y=-2\): \(x=-1.2\).

    Ответ: \((x,y)=(2,1.2)\), \((-1.2,-2)\).

  3. в) Используем разность квадратов: \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\). Тогда \(4(x+y)=8\), откуда \(x+y=2\).

    Решаем систему \(x-y=4\), \(x+y=2\): \(2x=6\), \(x=3\), \(y=-1\).

    Ответ: \((3,-1)\).

  4. г) Возведём второе уравнение в квадрат: \((x+y)^2=9\). Тогда \(x^2+2xy+y^2=9\). С учётом \(x^2+y^2=5\) получаем \(2xy=4\), то есть \(xy=2\).

    Числа \(x\) и \(y\) — корни уравнения \(t^2+3t+2=0\), поэтому \(t=-1\) или \(t=-2\).

    Ответ: \((x,y)=(-1,-2)\), \((-2,-1)\).