432. Решите систему уравнений: a) {x^2 + 5y = (x - 2)^2 - 20, 4x + y = -8; б) {x^2 + 3y = (x + 1)^2 + 12, 2x - 5y = -17; B) {(x+2)^2 + (y-1)^2 = x^2 + y^2 + 1, 6y + x = 25; г) {(x+2)^2 + (y-4)^2 = x^2 + y^2 + 4, 7y + x = 23; д) {(x - 3y)(x + 4) = 0, x - 5y = 1;

Решение:

1. а)
   

   Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = -8 - 4x \).

   
   

   Подставим в первое уравнение:

   
   

   \( x^2 + 5(-8 - 4x) = (x - 2)^2 - 20 \)
   
   \( x^2 - 40 - 20x = x^2 - 4x + 4 - 20 \)
   
   \( -40 - 20x = -4x - 16 \)
   
   \( -16x = 24 \)
   
   \( x = -24 / 16 = -3/2 \)

   
   

   Найдем \( y \): \( y = -8 - 4(-3/2) = -8 + 6 = -2 \).

   
   

   Ответ: \( x = -3/2, y = -2 \).

   
   


2. б)
   

   Раскроем скобки в первом уравнении:

   
   

   \( x^2 + 3y = x^2 + 2x + 1 + 12 \)
   
   \( 3y = 2x + 13 \)

   
   

   Из второго уравнения выразим \( 2x \): \( 2x = 5y - 17 \).

   
   

   Подставим \( 2x \) в упрощенное первое уравнение:

   
   

   \( 3y = (5y - 17) + 13 \)
   
   \( 3y = 5y - 4 \)
   
   \( -2y = -4 \)
   
   \( y = 2 \)

   
   

   Найдем \( x \): \( 2x = 5(2) - 17 = 10 - 17 = -7 \)
   
   \( x = -7/2 \).

   
   

   Ответ: \( x = -7/2, y = 2 \).

   
   


3. в)
   

   Раскроем скобки в первом уравнении:

   
   

   \( x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + y^2 + 1 \)
   
   \( 4x - 2y + 5 = 1 \)
   
   \( 4x - 2y = -4 \)
   
   \( 2x - y = -2 \)

   
   

   Из второго уравнения выразим \( x \): \( x = 25 - 6y \).

   
   

   Подставим \( x \) в упрощенное первое уравнение:

   
   

   \( 2(25 - 6y) - y = -2 \)
   
   \( 50 - 12y - y = -2 \)
   
   \( -13y = -52 \)
   
   \( y = 4 \)

   
   

   Найдем \( x \): \( x = 25 - 6(4) = 25 - 24 = 1 \).

   
   

   Ответ: \( x = 1, y = 4 \).

   
   


4. г)
   

   Раскроем скобки в первом уравнении:

   
   

   \( x^2 + 4x + 4 + y^2 - 8y + 16 = x^2 + y^2 + 4 \)
   
   \( 4x - 8y + 20 = 4 \)
   
   \( 4x - 8y = -16 \)
   
   \( x - 2y = -4 \)

   
   

   Из второго уравнения выразим \( x \): \( x = 23 - 7y \).

   
   

   Подставим \( x \) в упрощенное первое уравнение:

   
   

   \( (23 - 7y) - 2y = -4 \)
   
   \( 23 - 9y = -4 \)
   
   \( -9y = -27 \)
   
   \( y = 3 \)

   
   

   Найдем \( x \): \( x = 23 - 7(3) = 23 - 21 = 2 \).

   
   

   Ответ: \( x = 2, y = 3 \).

   
   


5. д)
   

   Из первого уравнения следует, что либо \( x - 3y = 0 \), либо \( x + 4 = 0 \).

   
   

   Случай 1: \( x - 3y = 0 \) => \( x = 3y \).

   
   

   Подставим во второе уравнение: \( 3y - 5y = 1 \) => \( -2y = 1 \) => \( y = -1/2 \).

   
   

   Тогда \( x = 3(-1/2) = -3/2 \).

   
   

   Случай 2: \( x + 4 = 0 \) => \( x = -4 \).

   
   

   Подставим во второе уравнение: \( -4 - 5y = 1 \) => \( -5y = 5 \) => \( y = -1 \).

   
   

   Ответ: \( x = -3/2, y = -1/2 \) или \( x = -4, y = -1 \).