431 Дана бесконечная последовательность случайных величин X₁, X₂, ..., Xn, .... Все они независимы и имеют распределение G(1/3). Пусть Yn = (X₁ + ... + Xn) / n — среднее арифметическое первых n величин этой последовательности. Как ведёт себя с ростом n (возрастает, убывает, постоянна) величина: a) EYn; б) DYn?

Решение:

Дано: независимые случайные величины \( X_1, X_2, ..., X_n, ... \) с одинаковым распределением \( G(\frac{1}{3}) \).

\( Y_n = \frac{X_1 + ... + X_n}{n} \).

По условию, \( X_i \) имеют одинаковое распределение \( G(\frac{1}{3}) \). Будем считать, что \( G(\frac{1}{3}) \) — это геометрическое распределение с параметром \( p = \frac{1}{3} \).

Математическое ожидание геометрического распределения: \( E(X_i) = \frac{1}{p} \).

Дисперсия геометрического распределения: \( D(X_i) = \frac{1-p}{p^2} \).

Для \( p = \frac{1}{3} \):

• \( E(X_i) = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3 \)
• \( D(X_i) = \frac{1 - \frac{1}{3}}{(\frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{9}} = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6 \)

а) EYn:

Математическое ожидание среднего арифметического равно математическому ожиданию самой величины:

\[ EY_n = E\left(\frac{X_1 + ... + X_n}{n}\right) = \frac{1}{n} E(X_1 + ... + X_n) \]

По свойству линейности математического ожидания:

\[ E(X_1 + ... + X_n) = E(X_1) + ... + E(X_n) \]

Так как \( E(X_i) = 3 \) для всех \( i \), то:

\[ EY_n = \frac{1}{n} (3 + ... + 3) = \frac{1}{n} (n \cdot 3) = 3 \]

Таким образом, \( EY_n = 3 \), и эта величина постоянна и не зависит от \( n \).

б) DYn?:

Дисперсия среднего арифметического равна дисперсии самой величины, делённой на \( n \) (при условии независимости величин):

\[ DY_n = D\left(\frac{X_1 + ... + X_n}{n}\right) = \frac{1}{n^2} D(X_1 + ... + X_n) \]

По свойству дисперсии для независимых случайных величин:

\[ D(X_1 + ... + X_n) = D(X_1) + ... + D(X_n) \]

Так как \( D(X_i) = 6 \) для всех \( i \), то:

\[ DY_n = \frac{1}{n^2} (6 + ... + 6) = \frac{1}{n^2} (n \cdot 6) = \frac{6}{n} \]

При увеличении \( n \) величина \( \frac{6}{n} \) убывает и стремится к нулю.

Ответ:

а) EYn = 3 (величина постоянна).

б) DYn = 6/n (величина убывает).