43. Какую цифру надо поставить в числе 5*12 вместо звёздочки, чтобы полученное число делилось: а) на 3; б) на 9? Можно ли подобрать цифру так, чтобы это число делилось на 6, на 15, на 18, на 90?

Обозначим цифру вместо звёздочки через \(x\). Получится число \(5x12\).

а) Делимость на 3. Сумма цифр должна делиться на 3: \(5+x+1+2=8+x\). Подходят цифры \(x=1,4,7\), так как суммы равны 9, 12 и 15.

б) Делимость на 9. Сумма цифр должна делиться на 9. Из цифр \(1,4,7\) только при \(x=1\) сумма цифр равна 9.

Проверим остальные делители:

• на 6 — можно: число должно делиться на 2 и на 3. Последняя цифра 2, а цифры \(1,4,7\) обеспечивают делимость на 3. Подходят \(1512, 5412, 5712\);
• на 15 — нельзя, так как число, делящееся на 15, должно оканчиваться на 0 или 5, а данное число оканчивается на 2;
• на 18 — можно: при \(x=1\) число \(5112\) делится и на 2, и на 9;
• на 90 — нельзя, так как число, делящееся на 90, должно оканчиваться на 0, а число оканчивается на 2.

Ответ: а) 1, 4, 7; б) 1. На 6 — можно; на 15 — нельзя; на 18 — можно; на 90 — нельзя.