42 Используя закон исключенного третьего, проверьте, правильно ли построены отрицания высказываний: а) «Все четные натуральные числа делятся на пять», и его отрицание: «все четные натуральные числа не делятся на пять»; б) «Все четные натуральные числа делятся на пять», и его отрицание: «некоторые четные натуральные числа не делятся на пять»; в) «существует натуральное число, для которого верно неравенство 2<n<5», и его отрицание: «не существует натуральное число, для которого верно неравенство 2<n<5».

Задание 42: Проверка отрицаний высказываний

Давай разберем каждое высказывание и его отрицание по порядку, используя закон исключенного третьего (что-то либо истинно, либо ложно, третьего не дано).

а) «Все четные натуральные числа делятся на пять», и его отрицание: «все четные натуральные числа не делятся на пять»

• Исходное высказывание: «Все четные натуральные числа делятся на пять». Это ложное утверждение, потому что, например, число 2 — четное, но оно не делится на 5.
• Предложенное отрицание: «Все четные натуральные числа не делятся на пять». Это тоже ложное утверждение. Например, число 10 — четное, и оно делится на 5.
• Правильное отрицание: Чтобы отрицание было истинным, оно должно быть противоположно исходному. Если исходное утверждает, что все обладают свойством, то отрицание должно говорить, что хотя бы одно не обладает этим свойством. Правильное отрицание будет: «Существует четное натуральное число, которое не делится на пять». Это утверждение истинно, так как мы можем привести пример (например, число 2).
• Вывод: Предложенное отрицание построено неправильно.

б) «Все четные натуральные числа делятся на пять», и его отрицание: «некоторые четные натуральные числа не делятся на пять»

• Исходное высказывание: «Все четные натуральные числа делятся на пять». Мы уже знаем, что это ложное утверждение.
• Предложенное отрицание: «Некоторые четные натуральные числа не делятся на пять». Как мы выяснили в пункте «а», это утверждение истинно (например, число 2).
• Вывод: Отрицание к исходному высказыванию построено правильно, потому что оно истинно, в то время как исходное ложно.

в) «Существует натуральное число, для которого верно неравенство 2<n<5», и его отрицание: «не существует натуральное число, для которого верно неравенство 2<n<5»

• Исходное высказывание: «Существует натуральное число, для которого верно неравенство 2<n<5». Это истинное утверждение, потому что число 3 и число 4 являются натуральными и удовлетворяют этому условию.
• Предложенное отрицание: «Не существует натуральное число, для которого верно неравенство 2<n<5». Это ложное утверждение, так как мы нашли такие числа (3 и 4).
• Вывод: Отрицание к исходному высказыванию построено правильно, потому что оно ложно, в то время как исходное истинно.

Итог: Отрицания в пунктах б) и в) построены правильно.