415 Случайная величина X подчиняется биномиальному распределению Bi(n, p) с математическим ожиданием 100 и дисперсией 75. Найдите параметры распределения.

Решение:

Случайная величина \( X \) подчиняется биномиальному распределению \( B(n, p) \).

Для биномиального распределения справедливы следующие формулы:

Математическое ожидание: \( E(X) = n \cdot p \)

Дисперсия: \( D(X) = n \cdot p \cdot (1-p) \)

По условию задачи дано:

\( E(X) = 100 \)

\( D(X) = 75 \)

Используя формулу математического ожидания, получаем первое уравнение:

\( n \cdot p = 100 \cdot (1) \)

Используя формулу дисперсии, получаем второе уравнение:

\( n \cdot p \cdot (1-p) = 75 \cdot (2) \)

Теперь решим систему из двух уравнений.

Подставим значение \( n \cdot p = 100 \) из уравнения (1) в уравнение (2):

\( 100 \cdot (1-p) = 75 \)

Разделим обе части на 100:

\( 1-p = \frac{75}{100} = 0,75 \)

Найдем \( p \):

\( p = 1 - 0,75 = 0,25 \)

Теперь, зная \( p \), найдем \( n \) из уравнения (1):

\( n \cdot 0,25 = 100 \)

Разделим обе части на 0,25:

\( n = \frac{100}{0,25} = 400 \)

Таким образом, параметры биномиального распределения:

\( n = 400 \)

\( p = 0,25 \)

Ответ: параметры распределения: \( n = 400 \), \( p = 0,25 \).