41. Решите систему неравенств: 1) {3x + 7 > 7x - 9, x - 3 > -3x + 1; 3) {6x - 7 > 5x - 1, 3x + 6 > 8x - 4; 5) {7 - 6x / 2 + 10x <= 8x + 1 / 2, x + 1 / 2 > 2x - 2 1/2;

Решение:

1. 1) Система неравенств:
   \( \begin{cases} 3x + 7 > 7x - 9 \\ x - 3 > -3x + 1 \end{cases} \)
   Первое неравенство:
   \( 3x - 7x > -9 - 7 \)
   \( -4x > -16 \)
   \( x < 4 \)
   Второе неравенство:
   \( x + 3x > 1 + 3 \)
   \( 4x > 4 \)
   \( x > 1 \)
   Общее решение: \( 1 < x < 4 \).
2. 3) Система неравенств:
   \( \begin{cases} 6x - 7 > 5x - 1 \\ 3x + 6 > 8x - 4 \end{cases} \)
   Первое неравенство:
   \( 6x - 5x > -1 + 7 \)
   \( x > 6 \)
   Второе неравенство:
   \( 3x - 8x > -4 - 6 \)
   \( -5x > -10 \)
   \( x < 2 \)
   Общего решения нет, так как \( x > 6 \) и \( x < 2 \) не пересекаются.
3. 5) Система неравенств:
   \( \begin{cases} \frac{7 - 6x}{2} + 10x \le \frac{8x + 1}{2} \\ \frac{x + 1}{2} > 2x - 2\frac{1}{2} \end{cases} \)
   Первое неравенство:
   \( \frac{7 - 6x + 20x}{2} \le \frac{8x + 1}{2} \)
   \( 7 + 14x \le 8x + 1 \)
   \( 14x - 8x \le 1 - 7 \)
   \( 6x \le -6 \)
   \( x \le -1 \)
   Второе неравенство:
   \( \frac{x + 1}{2} > 2x - \frac{5}{2} \)
   \( x + 1 > 4x - 5 \)
   \( 1 + 5 > 4x - x \)
   \( 6 > 3x \)
   \( 2 > x \)
   Общее решение: \( x \le -1 \) и \( x < 2 \), что в итоге дает \( x \le -1 \).

Ответ: 1) \( 1 < x < 4 \); 3) нет решений; 5) \( x \le -1 \).