41.5. 2. \(\frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{x^2 + 3x}{4x^2 - 1} : \frac{3 + x}{4x + 2}\) при 1) \(x = -1\); 2) \(x = -2,5\).

Привет! Давай решим второе задание. Тут у нас сложение и деление дробей с переменной 'x'.

Шаг 1: Упрощаем выражение

Сначала разложим знаменатели и числители на множители:

• Знаменатель первой дроби: \(2x + 1\)
• Знаменатель второй дроби: \(4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)\) (разность квадратов).
• Числитель второй дроби: \(x^2 + 3x = x(x + 3)\).
• Знаменатель третьей дроби: \(4x + 2 = 2(2x + 1)\).

Запишем выражение с разложенными множителями:

\[ \frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{x(x + 3)}{(2x - 1)(2x + 1)} : \frac{3 + x}{2(2x + 1)} \]

Деление дробей — это умножение на перевернутую дробь:

\[ \frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{x(x + 3)}{(2x - 1)(2x + 1)} \cdot \frac{2(2x + 1)}{3 + x} \]

Сокращаем \((2x + 1)\) и \((3 + x)\) (так как \(3 + x = x + 3\)):

\[ \frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{x}{(2x - 1)} \cdot \frac{2}{1} \]

Теперь упростим первую дробь. Заметим, что \(1 - 2x = -(2x - 1)\). Подставим это:

\[ \frac{-(2x - 1)}{2x + 1} + \frac{2x}{2x - 1} \]

Теперь приведем к общему знаменателю \((2x + 1)(2x - 1)\):

\[ \frac{-(2x - 1)(2x - 1)}{(2x + 1)(2x - 1)} + \frac{2x(2x + 1)}{(2x - 1)(2x + 1)} \]

Раскроем скобки:

\[ \frac{-(4x^2 - 4x + 1)}{(2x + 1)(2x - 1)} + \frac{4x^2 + 2x}{(2x - 1)(2x + 1)} \]

\[ \frac{-4x^2 + 4x - 1 + 4x^2 + 2x}{(2x + 1)(2x - 1)} \]

Сложим подобные члены в числителе:

\[ \frac{6x - 1}{(2x + 1)(2x - 1)} \]

Знаменатель — это разность квадратов: \((2x + 1)(2x - 1) = 4x^2 - 1\).

Упрощенное выражение: \(\frac{6x - 1}{4x^2 - 1}\).

Шаг 2: Находим значение выражения при заданных 'x'

1) При \(x = -1\)

Подставляем \(x = -1\) в упрощенное выражение:

\[ \frac{6(-1) - 1}{4(-1)^2 - 1} = \frac{-6 - 1}{4(1) - 1} = \frac{-7}{4 - 1} = \frac{-7}{3} \]

2) При \(x = -2.5\)

Подставляем \(x = -2.5\) в упрощенное выражение. Удобнее работать с дробями: \(-2.5 = -\frac{5}{2}\).

\[ \frac{6(-\frac{5}{2}) - 1}{4(-\frac{5}{2})^2 - 1} = \frac{-15 - 1}{4(\frac{25}{4}) - 1} = \frac{-16}{25 - 1} = \frac{-16}{24} \]

Сокращаем дробь:

\[ \frac{-16}{24} = \frac{-2 × 8}{3 × 8} = -\frac{2}{3} \]

Ответ:

1. При \(x = -1\), значение выражения равно \(-\frac{7}{3}\).
2. При \(x = -2.5\), значение выражения равно \(-\frac{2}{3}\).