41.5. 1. \(\frac{a^2 - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^2 + 5a} - \frac{a + 5}{a^2 - 3a}\) при 1) \(a = 2\); 2) \(a = -4\);

Привет! Давай разберем это задание по алгебре. Нам нужно упростить выражение и найти его значение при заданных значениях переменной 'a'.

Шаг 1: Упрощаем выражение

Сначала разложим знаменатели и числители на множители, где это возможно:

• Числитель первой дроби: \(a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)\) (разность квадратов).
• Знаменатель первой дроби: \(a^2 + 5a = a(a + 5)\).
• Знаменатель второй дроби: \(a^2 - 3a = a(a - 3)\).

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

\[ \frac{(a - 5)(a + 5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{a(a + 5)} - \frac{a + 5}{a(a - 3)} \]

Сокращаем \((a + 5)\) в первой дроби:

\[ \frac{a - 5}{a + 3} \cdot \frac{1}{a} - \frac{a + 5}{a(a - 3)} \]

Перемножаем дроби:

\[ \frac{a - 5}{a(a + 3)} - \frac{a + 5}{a(a - 3)} \]

Теперь приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \(a(a + 3)(a - 3)\).

\[ \frac{(a - 5)(a - 3)}{a(a + 3)(a - 3)} - \frac{(a + 5)(a + 3)}{a(a - 3)(a + 3)} \]

Раскроем скобки в числителях:

\[ \frac{a^2 - 3a - 5a + 15}{a(a^2 - 9)} - \frac{a^2 + 3a + 5a + 15}{a(a^2 - 9)} \]

\[ \frac{a^2 - 8a + 15}{a(a^2 - 9)} - \frac{a^2 + 8a + 15}{a(a^2 - 9)} \]

Вычитаем числители:

\[ \frac{(a^2 - 8a + 15) - (a^2 + 8a + 15)}{a(a^2 - 9)} \]

\[ \frac{a^2 - 8a + 15 - a^2 - 8a - 15}{a(a^2 - 9)} \]

\[ \frac{-16a}{a(a^2 - 9)} \]

Сокращаем \(a\):

\[ \frac{-16}{a^2 - 9} \]

Шаг 2: Находим значение выражения при заданных 'a'

1) При \(a = 2\)

Подставляем \(a = 2\) в упрощенное выражение:

\[ \frac{-16}{2^2 - 9} = \frac{-16}{4 - 9} = \frac{-16}{-5} = \frac{16}{5} = 3.2 \]

2) При \(a = -4\)

Подставляем \(a = -4\) в упрощенное выражение:

\[ \frac{-16}{(-4)^2 - 9} = \frac{-16}{16 - 9} = \frac{-16}{7} \]

Ответ:

1. При \(a = 2\), значение выражения равно \(3.2\) (или \(\frac{16}{5}\)).
2. При \(a = -4\), значение выражения равно \(-\frac{16}{7}\).