4)Задача Прямоугольная трапеция с основаниями 12 см и 15 см и высотой 4 см вращается около меньшего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения детали, используемой в колесной паре электропоезда.

Решение:

Тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции около меньшего основания, состоит из цилиндра и усечённого конуса.

1. Цилиндр:

• Радиус цилиндра равен высоте трапеции: \( r = 4 \text{ см} \).
• Высота цилиндра равна меньшему основанию трапеции: \( h_1 = 12 \text{ см} \).
• Площадь боковой поверхности цилиндра: \( S_{цилиндр} = 2 \pi r h_1 = 2 \pi \cdot 4 \cdot 12 = 96 \pi \text{ см}^2 \).

2. Усечённый конус:

• Большее основание трапеции является радиусом основания усечённого конуса: \( R = 15 \text{ см} \).
• Меньшее основание трапеции является радиусом верхнего основания усечённого конуса: \( r = 4 \text{ см} \).
• Высота трапеции является высотой усечённого конуса: \( h_2 = 4 \text{ см} \).
• Находим образующую \( l \) усечённого конуса: \( l = \sqrt{h_2^2 + (R - r)^2} = \sqrt{4^2 + (15 - 4)^2} = \sqrt{16 + 11^2} = \sqrt{16 + 121} = \sqrt{137} \text{ см} \).
• Площадь боковой поверхности усечённого конуса: \( S_{усеч. конус} = \pi (R + r) l = \pi (15 + 4) \sqrt{137} = 19 \pi \sqrt{137} \text{ см}^2 \).

3. Общая площадь поверхности:

• Суммируем площади боковых поверхностей цилиндра и усечённого конуса:

\[ S_{общ} = S_{цилиндр} + S_{усеч. конус} = 96 \pi + 19 \pi \sqrt{137} \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь поверхности тела вращения составляет \( 96 \pi + 19 \pi \sqrt{137} \text{ см}^2 \).