4. Задача: Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.

Дано:

Прямоугольная пирамида.
Стороны основания \(a = 6\) см, \(b = 8\) см.
Боковое ребро \(l = 13\) см.

Найти:

Высота пирамиды \(h\).

Решение:

1. Найдём диагональ основания:
   Диагональ прямоугольника \(d\) можно найти по теореме Пифагора: \(d^2 = a^2 + b^2\).
   \(d^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\) см².
   \(d = \sqrt{100} = 10\) см.
2. Найдём половину диагонали основания:
   В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, который является точкой пересечения диагоналей. Половина диагонали основания равна \( \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) см.
3. Найдём высоту пирамиды:
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром \(l\), высотой пирамиды \(h\) и половиной диагонали основания \( \frac{d}{2} \). По теореме Пифагора: \(l^2 = h^2 + (\frac{d}{2})^2\).
   \(13^2 = h^2 + 5^2\)
   \(169 = h^2 + 25\)
   \(h^2 = 169 - 25 = 144\) см².
   \(h = \sqrt{144} = 12\) см.

Ответ: 12 см.