4. Задача: Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.

Решение:

1. Найдём диагональ основания пирамиды. Основание — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. По теореме Пифагора: \( d^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \), следовательно, \( d = \sqrt{100} = 10 \) см.
2. Найдём радиус описанной окружности основания. Радиус описанной окружности равен половине диагонали: \( r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) см.
3. Найдём высоту пирамиды. Боковое ребро \( l = 13 \) см, радиус описанной окружности \( r = 5 \) см. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды \( h \), радиусом описанной окружности \( r \) и боковым ребром \( l \), по теореме Пифагора: \( h^2 = l^2 - r^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \). Следовательно, \( h = \sqrt{144} = 12 \) см.

Ответ: 12 см.