4. √x = x - 6

Привет! Давай решим это уравнение графически. Нам нужно найти точки пересечения графиков функций y = √x (это верхняя половина параболы) и y = x - 6 (это прямая).

Важно: Так как у нас есть квадратный корень, то x ≥ 0.

Шаг 1: Строим график y = √x

Это верхняя часть параболы, начинающаяся в точке (0,0) и идущая вправо и вверх. Вот несколько точек:

• При x = 0, y = 0. Точка (0, 0).
• При x = 1, y = 1. Точка (1, 1).
• При x = 4, y = 2. Точка (4, 2).
• При x = 9, y = 3. Точка (9, 3).
• При x = 16, y = 4. Точка (16, 4).

Шаг 2: Строим график y = x - 6

Это прямая. Найдем две точки:

• При x = 0, y = 0 - 6 = -6. Точка (0, -6).
• При x = 6, y = 6 - 6 = 0. Точка (6, 0).
• При x = 10, y = 10 - 6 = 4. Точка (10, 4).

Шаг 3: Находим точки пересечения

Нарисуем обе функции на одной координатной плоскости. Точки, где графики пересекаются, и будут решениями уравнения. Учитываем, что x ≥ 0.

Шаг 4: Анализ графика

На графике видно, что верхняя половина параболы и прямая пересекаются в одной точке. Примерная координата этой точки:

• При x = 9, y = 3.

Для точного решения решим уравнение алгебраически. Возведем обе части в квадрат:

\[ (\sqrt{x})^2 = (x - 6)^2 \]

\[ x = x^2 - 12x + 36 \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ x^2 - 13x + 36 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4(1)(36) = 169 - 144 = 25 \]

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

Теперь проверим оба корня в исходном уравнении √x = x - 6, так как при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни:

• Для x = 9: √9 = 3. А 9 - 6 = 3. Верно!
• Для x = 4: √4 = 2. А 4 - 6 = -2. Неверно! (2 ≠ -2)

Значит, корень x = 4 является посторонним.

Ответ: x = 9