4^{x^2 - 2x + 1} + 4^{x^2 - 2x} = 20

Решение:

Заметим, что \( x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \) и \( x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1 \).

Пусть \( y = 4^{x^2 - 2x} \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 4^{x^2 - 2x + 1} + 4^{x^2 - 2x} = 20 \]

\[ 4 · 4^{x^2 - 2x} + 4^{x^2 - 2x} = 20 \]

\[ 4y + y = 20 \]

\[ 5y = 20 \]

\[ y = 4 \]

Теперь подставим \( y = 4^{x^2 - 2x} \) обратно:

\[ 4^{x^2 - 2x} = 4 \]

\[ 4^{x^2 - 2x} = 4^1 \]

Приравниваем показатели степеней:

\[ x^2 - 2x = 1 \]

\[ x^2 - 2x - 1 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} \]

\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]

\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]

\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]

\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]

Таким образом, корни уравнения:

\( x_1 = 1 + \sqrt{2} \)

\( x_2 = 1 - \sqrt{2} \)

Ответ: \( x = 1 \pm \sqrt{2} \).