4. Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной на 9 дм от нее, равна 240 дм². Найдите радиус цилиндра.

Решение:

Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, равна произведению высоты цилиндра на длину хорды основания, соответствующей этому сечению. Пусть \( h \) — высота цилиндра, \( S \) — площадь сечения, \( d \) — расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения, \( r \) — радиус основания цилиндра.

Из условия задачи известно:

• \( h = 10 \) дм
• \( S = 240 \) дм²
• \( d = 9 \) дм

Формула площади сечения: \( S = h \cdot 2x \), где \( 2x \) — длина хорды основания.

Подставим известные значения:

\[ 240 = 10 \cdot 2x \]\[ 240 = 20x \]\[ x = \frac{240}{20} = 12 \] дм.

Таким образом, длина хорды основания равна \( 2x = 2 \cdot 12 = 24 \) дм.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания \( r \), расстоянием от оси до хорды \( d \) и половиной хорды \( x \). По теореме Пифагора:

\[ r^2 = d^2 + x^2 \]\[ r^2 = 9^2 + 12^2 \]\[ r^2 = 81 + 144 \]\[ r^2 = 225 \]\[ r = \sqrt{225} = 15 \] дм.

Ответ: радиус цилиндра равен 15 дм.