4. Выполнить умножение многочленов. a) (x+3y) ⋅ (x-4y) б) (x²+3y) ⋅ (2y+x) в) (x²+3y²) ⋅ (x²-3y²) г) (a²x-y) ⋅ (3x-y) д) (x+3y) ⋅ (x²-2y+5) е) (x²-3y) ⋅ (x+y²+4)

Решение:

Для решения задач этого типа воспользуемся распределительным свойством умножения (каждый член первой скобки умножается на каждый член второй скобки).

1. а) (x+3y) ⋅ (x-4y)
   • x ⋅ x = x²
   • x ⋅ (-4y) = -4xy
   • 3y ⋅ x = 3xy
   • 3y ⋅ (-4y) = -12y²
   x² - 4xy + 3xy - 12y² = x² - xy - 12y²
2. б) (x²+3y) ⋅ (2y+x)
   • x² ⋅ 2y = 2x²y
   • x² ⋅ x = x³
   • 3y ⋅ 2y = 6y²
   • 3y ⋅ x = 3xy
   2x²y + x³ + 6y² + 3xy
3. в) (x²+3y²) ⋅ (x²-3y²)
   • Этот пример представляет собой формулу разности квадратов: (a-b)(a+b) = a²-b²
   • Здесь a = x² и b = 3y²
   • (x²)² - (3y²)² = x⁴ - 9y⁴
   x⁴ - 9y⁴
4. г) (a²x-y) ⋅ (3x-y)
   • a²x ⋅ 3x = 3a²x²
   • a²x ⋅ (-y) = -a²xy
   • -y ⋅ 3x = -3xy
   • -y ⋅ (-y) = y²
   3a²x² - a²xy - 3xy + y²
5. д) (x+3y) ⋅ (x²-2y+5)
   • x ⋅ x² = x³
   • x ⋅ (-2y) = -2xy
   • x ⋅ 5 = 5x
   • 3y ⋅ x² = 3x²y
   • 3y ⋅ (-2y) = -6y²
   • 3y ⋅ 5 = 15y
   x³ - 2xy + 5x + 3x²y - 6y² + 15y
6. е) (x²-3y) ⋅ (x+y²+4)
   • x² ⋅ x = x³
   • x² ⋅ y² = x²y²
   • x² ⋅ 4 = 4x²
   • -3y ⋅ x = -3xy
   • -3y ⋅ y² = -3y³
   • -3y ⋅ 4 = -12y
   x³ + x²y² + 4x² - 3xy - 3y³ - 12y

Ответ:

• а) x² - xy - 12y²
• б) x³ + 2x²y + 3xy + 6y²
• в) x⁴ - 9y⁴
• г) 3a²x² - a²xy - 3xy + y²
• д) x³ + 3x²y - 2xy - 6y² + 5x + 15y
• е) x³ + x²y² + 4x² - 3xy - 3y³ - 12y