4. Вычислите, используя свойства степеней: a) \(\frac{3^{10} \cdot (3^2)^4}{(3^5)^3 \cdot 3}\)

Решение:

Для вычисления выражения используем свойства степеней:

1. \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
2. \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
3. \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Применим эти свойства к заданному выражению:

\[ \frac{3^{10} \cdot (3^2)^4}{(3^5)^3 \cdot 3} = \frac{3^{10} \cdot 3^{2 \cdot 4}}{3^{5 \cdot 3} \cdot 3^1} \]

\[ = \frac{3^{10} \cdot 3^8}{3^{15} \cdot 3^1} \]

Теперь сложим степени в числителе и знаменателе:

\[ = \frac{3^{10+8}}{3^{15+1}} = \frac{3^{18}}{3^{16}} \]

Вычтем степени:

\[ = 3^{18-16} = 3^2 \]

\[ = 9 \]

Ответ: 9