4. Вычислите интеграл ∫ 2 sin x dx 0

Решение:

Вычислим определенный интеграл:

\[ \int_{0}^{2} \sin x \, dx \]

Первообразная для \( \sin x \) — это \( -\cos x \).

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]

Где \( F(x) \) — первообразная функции \( f(x) \).

В нашем случае:

\[ \int_{0}^{2} \sin x \, dx = [-\cos x]_{0}^{2} = (-\cos 2) - (-\cos 0) = -\cos 2 + \cos 0 \]

Так как \( \cos 0 = 1 \), получаем:

\[ -\cos 2 + 1 \]

Ответ: \( 1 - \cos 2 \).