4. Вычислите: а) \(\frac{5^5 \cdot 22^7}{110^6}\) ; б) \(\frac{21^5 \cdot 15^6}{3^{10} \cdot 35^5}\)

Решение:

а)

1. Разложим числа на простые множители:
• $$5 = 5$$
• $$22 = 2 \cdot 11$$
• $$110 = 11 \cdot 10 = 2 \cdot 5 \cdot 11$$
2. Подставим разложения в дробь:
• $$ \frac{5^5 \cdot (2 \cdot 11)^7}{(2 \cdot 5 \cdot 11)^6} = \frac{5^5 \cdot 2^7 \cdot 11^7}{2^6 \cdot 5^6 \cdot 11^6} $$
3. Сократим дробь, используя правила степеней ($$a^m / a^n = a^{m-n}$$):
• $$ 2^{7-6} \cdot 5^{5-6} \cdot 11^{7-6} = 2^1 \cdot 5^{-1} \cdot 11^1 = \frac{2 \cdot 11}{5} = \frac{22}{5} = 4.4 $$

б)

1. Разложим числа на простые множители:
• $$21 = 3 \cdot 7$$
• $$15 = 3 \cdot 5$$
• $$3 = 3$$
• $$35 = 5 \cdot 7$$
2. Подставим разложения в дробь:
• $$ \frac{(3 \cdot 7)^5 \cdot (3 \cdot 5)^6}{3^{10} \cdot (5 \cdot 7)^5} = \frac{3^5 \cdot 7^5 \cdot 3^6 \cdot 5^6}{3^{10} \cdot 5^5 \cdot 7^5} $$
3. Соберем степени с одинаковыми основаниями:
• $$ \frac{3^{5+6} \cdot 7^5 \cdot 5^6}{3^{10} \cdot 5^5 \cdot 7^5} = \frac{3^{11} \cdot 7^5 \cdot 5^6}{3^{10} \cdot 5^5 \cdot 7^5} $$
4. Сократим дробь:
• $$ 3^{11-10} \cdot 5^{6-5} \cdot 7^{5-5} = 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^0 = 3 \cdot 5 \cdot 1 = 15 $$

Ответ: а) 4.4; б) 15