4. Вычислить интеграл (непосредственное интегрирование, замена переменной, по частям) Вариант 1. 2. 3. 4.

Задание 4: Вычисление интегралов

В данном задании представлены четыре варианта интегралов, которые необходимо вычислить различными методами: непосредственное интегрирование, замена переменной и интегрирование по частям.

1. Вариант 1

• Метод замены переменной:


• 
  \( \int (4+3x^2)^5 x dx \)
  

  Решение: Подставим \( u = 4+3x^2 \), тогда \( du = 6x dx \), значит \( x dx = \frac{1}{6} du \). Интеграл принимает вид: \( \int u^5 \frac{1}{6} du = \frac{1}{6} \int u^5 du = \frac{1}{6} \frac{u^6}{6} + C = \frac{(4+3x^2)^6}{36} + C \)



• 
  \( \int \cos(5-2x) dx \)
  

  Решение: Подставим \( u = 5-2x \), тогда \( du = -2 dx \), значит \( dx = -\frac{1}{2} du \). Интеграл принимает вид: \( \int \cos(u) (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} \int \cos(u) du = -\frac{1}{2} \sin(u) + C = -\frac{1}{2} \sin(5-2x) + C \)



• 
  \( \int \sqrt{2x+3} dx \)
  

  Решение: Подставим \( u = 2x+3 \), тогда \( du = 2 dx \), значит \( dx = \frac{1}{2} du \). Интеграл принимает вид: \( \int \sqrt{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{1/2} du = \frac{1}{2} \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{3} u^{3/2} + C = \frac{1}{3} (2x+3)^{3/2} + C \)

2. Вариант 2

• Метод замены переменной:


• 
  \( \int (3-4x^2)^7 x dx \)
  

  Решение: Подставим \( u = 3-4x^2 \), тогда \( du = -8x dx \), значит \( x dx = -\frac{1}{8} du \). Интеграл принимает вид: \( \int u^7 (-\frac{1}{8}) du = -\frac{1}{8} \int u^7 du = -\frac{1}{8} \frac{u^8}{8} + C = -\frac{(3-4x^2)^8}{64} + C \)



• 
  \( \int \sin(2x+5) dx \)
  

  Решение: Подставим \( u = 2x+5 \), тогда \( du = 2 dx \), значит \( dx = \frac{1}{2} du \). Интеграл принимает вид: \( \int \sin(u) \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \sin(u) du = -\frac{1}{2} \cos(u) + C = -\frac{1}{2} \cos(2x+5) + C \)



• 
  \( \int \sqrt{3x-1} dx \)
  

  Решение: Подставим \( u = 3x-1 \), тогда \( du = 3 dx \), значит \( dx = \frac{1}{3} du \). Интеграл принимает вид: \( \int \sqrt{u} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^{1/2} du = \frac{1}{3} \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{9} u^{3/2} + C = \frac{2}{9} (3x-1)^{3/2} + C \)

3. Вариант 3

• Метод замены переменной:


• 
  \( \int (5+2x^2)^9 x dx \)
  

  Решение: Подставим \( u = 5+2x^2 \), тогда \( du = 4x dx \), значит \( x dx = \frac{1}{4} du \). Интеграл принимает вид: \( \int u^9 \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int u^9 du = \frac{1}{4} \frac{u^{10}}{10} + C = \frac{(5+2x^2)^{10}}{40} + C \)



• 
  \( \int \cos(3x-5) dx \)
  

  Решение: Подставим \( u = 3x-5 \), тогда \( du = 3 dx \), значит \( dx = \frac{1}{3} du \). Интеграл принимает вид: \( \int \cos(u) \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \cos(u) du = \frac{1}{3} \sin(u) + C = \frac{1}{3} \sin(3x-5) + C \)



• 
  \( \int \sqrt{1-2x} dx \)
  

  Решение: Подставим \( u = 1-2x \), тогда \( du = -2 dx \), значит \( dx = -\frac{1}{2} du \). Интеграл принимает вид: \( \int \sqrt{u} (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} \int u^{1/2} du = -\frac{1}{2} \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = -\frac{1}{3} u^{3/2} + C = -\frac{1}{3} (1-2x)^{3/2} + C \)

4. Вариант 4

• Метод замены переменной:


• 
  \( \int (2+7x^2)^{-5} x dx \)
  

  Решение: Подставим \( u = 2+7x^2 \), тогда \( du = 14x dx \), значит \( x dx = \frac{1}{14} du \). Интеграл принимает вид: \( \int u^{-5} \frac{1}{14} du = \frac{1}{14} \int u^{-5} du = \frac{1}{14} \frac{u^{-4}}{-4} + C = -\frac{1}{56 u^4} + C = -\frac{1}{56 (2+7x^2)^4} + C \)



• 
  \( \int \sin(7x+5) dx \)
  

  Решение: Подставим \( u = 7x+5 \), тогда \( du = 7 dx \), значит \( dx = \frac{1}{7} du \). Интеграл принимает вид: \( \int \sin(u) \frac{1}{7} du = \frac{1}{7} \int \sin(u) du = -\frac{1}{7} \cos(u) + C = -\frac{1}{7} \cos(7x+5) + C \)



• 
  \( \int \sqrt{5x-3} dx \)
  

  Решение: Подставим \( u = 5x-3 \), тогда \( du = 5 dx \), значит \( dx = \frac{1}{5} du \). Интеграл принимает вид: \( \int \sqrt{u} \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int u^{1/2} du = \frac{1}{5} \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{15} u^{3/2} + C = \frac{2}{15} (5x-3)^{3/2} + C \)

Интегрирование по частям (примеры из таблицы)

• 
  \( \int x   \cos(2x) dx \)
  

  Решение: Возьмём \( u = x \), \( dv = \cos(2x) dx \). Тогда \( du = dx \) и \( v = \int \cos(2x) dx = \frac{1}{2} \sin(2x) \). По формуле \( \int u dv = uv - \int v du \):
  \( \int x   \cos(2x) dx = x \cdot \frac{1}{2} \sin(2x) - \int \frac{1}{2} \sin(2x) dx = \frac{x}{2} \sin(2x) - \frac{1}{2} \int \sin(2x) dx = \frac{x}{2} \sin(2x) - \frac{1}{2} (-\frac{1}{2} \cos(2x)) + C = \frac{x}{2} \sin(2x) + \frac{1}{4} \cos(2x) + C \)



• 
  \( \int x   \sin(3x) dx \)
  

  Решение: Возьмём \( u = x \), \( dv = \sin(3x) dx \). Тогда \( du = dx \) и \( v = \int \sin(3x) dx = -\frac{1}{3} \cos(3x) \). По формуле \( \int u dv = uv - \int v du \):
  \( \int x   \sin(3x) dx = x \cdot (-\frac{1}{3} \cos(3x)) - \int (-\frac{1}{3} \cos(3x)) dx = -\frac{x}{3} \cos(3x) + \frac{1}{3} \int \cos(3x) dx = -\frac{x}{3} \cos(3x) + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \sin(3x)) + C = -\frac{x}{3} \cos(3x) + \frac{1}{9} \sin(3x) + C \)



• 
  \( \int 5x e^x dx \)
  

  Решение: Возьмём \( u = 5x \), \( dv = e^x dx \). Тогда \( du = 5 dx \) и \( v = \int e^x dx = e^x \). По формуле \( \int u dv = uv - \int v du \):
  \( \int 5x e^x dx = 5x e^x - \int e^x 5 dx = 5x e^x - 5 \int e^x dx = 5x e^x - 5e^x + C = 5e^x(x-1) + C \)



• 
  \( \int x   \cos(3x) dx \)
  

  Решение: Возьмём \( u = x \), \( dv = \cos(3x) dx \). Тогда \( du = dx \) и \( v = \int \cos(3x) dx = \frac{1}{3} \sin(3x) \). По формуле \( \int u dv = uv - \int v du \):
  \( \int x   \cos(3x) dx = x \cdot \frac{1}{3} \sin(3x) - \int \frac{1}{3} \sin(3x) dx = \frac{x}{3} \sin(3x) - \frac{1}{3} \int \sin(3x) dx = \frac{x}{3} \sin(3x) - \frac{1}{3} (-\frac{1}{3} \cos(3x)) + C = \frac{x}{3} \sin(3x) + \frac{1}{9} \cos(3x) + C \)

Ответ: Результаты вычисления интегралов представлены выше для каждого варианта и метода.