4) вычислить 1-tg² 75° / tg 22°30′

Решение:

Задание состоит из двух частей. Первая часть: \( 1 - \text{tg}^2 75° \). Вторая часть: \( \text{tg } 22°30' \). Необходимо вычислить частное этих двух выражений.

Часть 1: Вычислим \( 1 - \text{tg}^2 75° \)

Используем формулу тангенса двойного угла: \( \text{tg } 2\beta = \frac{2 \text{tg } \beta}{1 - \text{tg}^2 \beta} \). Отсюда \( 1 - \text{tg}^2 \beta = \frac{2 \text{tg } \beta}{\text{tg } 2\beta} \).

Пусть \( \beta = 75° \), тогда \( 2\beta = 150° \).

\[ 1 - \text{tg}^2 75° = \frac{2 \text{tg } 75°}{\text{tg } 150°} \]

Найдем \( \text{tg } 75° \) и \( \text{tg } 150° \).

\[ \text{tg } 75° = \text{tg } (45° + 30°) = \frac{\text{tg } 45° + \text{tg } 30°}{1 - \text{tg } 45° \text{tg } 30°} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \]

Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3}+1 \):

\[ \text{tg } 75° = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} \]

\[ \text{tg } 150° = \text{tg } (180° - 30°) = -\text{tg } 30° = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \]

Теперь подставим значения в формулу для \( 1 - \text{tg}^2 75° \):

\[ 1 - \text{tg}^2 75° = \frac{2 (2+\sqrt{3})}{-\frac{1}{\sqrt{3}}} = -2\sqrt{3} (2+\sqrt{3}) = -4\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\sqrt{3} = -4\sqrt{3} - 6 \]

Часть 2: Вычислим \( \text{tg } 22°30' \)

Используем формулу половинного угла: \( \text{tg } \frac{\beta}{2} = \frac{1 - \cos \beta}{\sin \beta} \).

Пусть \( \frac{\beta}{2} = 22°30' \), тогда \( \beta = 45° \).

\[ \text{tg } 22°30' = \text{tg } \frac{45°}{2} = \frac{1 - \cos 45°}{\sin 45°} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \]

Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \):

\[ \text{tg } 22°30' = \frac{(2-\sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}-2}{2} = \sqrt{2}-1 \]

Финальное вычисление:

\[ \frac{1-\text{tg}^2 75°}{\text{tg } 22°30'} = \frac{-4\sqrt{3} - 6}{\sqrt{2}-1} \]

Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2}+1 \):

\[ \frac{(-4\sqrt{3} - 6)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{-4\sqrt{6} - 4\sqrt{3} - 6\sqrt{2} - 6}{2-1} = -4\sqrt{6} - 4\sqrt{3} - 6\sqrt{2} - 6 \]

Примечание: В условии задания может быть опечатка. Если первая часть выражения была \( \text{tg}^2 75° - 1 \) или \( \frac{1}{\text{tg}^2 75° - 1} \) тогда результат мог бы быть проще. Однако, следуя условию, получаем такой ответ.

Альтернативный подход для первой части:

\( \text{tg } 75° = 2 + \sqrt{3} \)

\[ \text{tg}^2 75° = (2+\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3} \]

\[ 1 - \text{tg}^2 75° = 1 - (7 + 4\sqrt{3}) = 1 - 7 - 4\sqrt{3} = -6 - 4\sqrt{3} \]

Это совпадает с предыдущим вычислением.

Вторая часть:

\[ \text{tg } 22°30' = \sqrt{2} - 1 \]

Итого:

\[ \frac{-6 - 4\sqrt{3}}{\sqrt{2} - 1} \]

Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} + 1 \):

\[ \frac{(-6 - 4\sqrt{3})(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{-6\sqrt{2} - 6 - 4\sqrt{6} - 4\sqrt{3}}{2-1} = -6\sqrt{2} - 6 - 4\sqrt{6} - 4\sqrt{3} \]

Примечание: Возможна опечатка в задании. Типичные задания такого типа имеют вид \( \frac{2 \text{tg } \beta}{1 - \text{tg}^2 \beta} \) или \( \frac{1 - \text{tg}^2 \beta}{2 \text{tg } \beta} \) для \( \text{tg } 2\beta \) или \( \text{ctg } 2\beta \).

Если предположить, что в числителе имелось в виду \( \text{tg } 2\cdot 75° \) или \( \text{ctg } 2\cdot 75° \), это дало бы упрощение.

Возможно, имелось в виду: \( \frac{2\text{tg} 75°}{1-\text{tg}^2 75°} = \text{tg } 150° = -\frac{\sqrt{3}}{3} \)

Или: \( \frac{1-\text{tg}^2 75°}{2\text{tg} 75°} = \text{ctg } 150° = -\sqrt{3} \)

Однако, строго по условию:

\( \frac{1-\text{tg}^2 75°}{\text{tg } 22°30'} = \frac{-6 - 4\sqrt{3}}{\sqrt{2} - 1} \). Умножая числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} + 1 \):

\[ \frac{(-6 - 4\sqrt{3})(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{-6\sqrt{2} - 6 - 4\sqrt{6} - 4\sqrt{3}}{1} = -6 - 4\sqrt{3} - 4\sqrt{6} - 6\sqrt{2} \]

Ответ: \( -6 - 4\sqrt{3} - 4\sqrt{6} - 6\sqrt{2} \).