4) В цилиндре на расстоянии 4 см от оси проведено сечение. Найти площадь поверхности цилиндра, если высота цилиндра 7 см, а площадь сечения 28 см².

Решение:

Сечение, проведённое параллельно оси цилиндра на расстоянии \( d = 4 \) см от неё, представляет собой прямоугольник. Длины сторон этого прямоугольника равны высоте цилиндра \( h \) и хорде \( L \) основания цилиндра. Площадь этого сечения \( S_{сеч} = h \times L \).

Нам дано, что \( h = 7 \) см и \( S_{сеч} = 28 \text{ см}^2 \).

Найдем длину хорды \( L \):

\[ 7 \times L = 28 \]

\[ L = \frac{28}{7} = 4 \text{ см} \]

Хорда \( L \) находится на расстоянии \( d = 4 \) см от центра основания. В основании цилиндра лежит окружность. Пусть \( R \) — радиус основания. Хорда \( L \), расстояние от центра до хорды \( d \) и радиус \( R \) образуют прямоугольный треугольник, где \( R \) — гипотенуза.

По теореме Пифагора:

\[ R^2 = d^2 + \left(\frac{L}{2}\right)^2 \]

\[ R^2 = 4^2 + \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 16 + 2^2 = 16 + 4 = 20 \]

\[ R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ см} \]

Теперь найдём площадь полной поверхности цилиндра. Формула площади полной поверхности цилиндра:

\[ S_{цил} = 2 \pi R^2 + 2 \pi R h \]

Подставим найденные значения \( R = 2\sqrt{5} \text{ см} \) и \( h = 7 \text{ см} \):

\[ S_{цил} = 2 \pi (2\sqrt{5})^2 + 2 \pi (2\sqrt{5})(7) \]

\[ S_{цил} = 2 \pi (20) + 28\sqrt{5} \pi \]

\[ S_{цил} = 40 \pi + 28\sqrt{5} \pi = \pi (40 + 28\sqrt{5}) \text{ см}^2 \]

Ответ: \( \pi (40 + 28\sqrt{5}) \text{ см}^2 \).