4. В треугольной пирамиде все ребра равны по 4√3 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

Данная задача относится к теме "Тела вращения" в геометрии.

1. Анализ условия:

• Пирамида треугольная, значит, в основании лежит треугольник.
• Все ребра равны 4√3 см. Это означает, что боковые ребра и ребра основания имеют одинаковую длину.
• Такая пирамида называется правильной, и ее основание — равносторонний треугольник.

2. Формула площади полной поверхности:

Площадь полной поверхности правильной пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

\[ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \]

3. Вычисление площади основания:

Основание — равносторонний треугольник со стороной a = 4√3 см.

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

\[ S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]

Подставляем значение стороны:

\[ S_{осн} = \frac{(4\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(16 \times 3) \sqrt{3}}{4} = \frac{48 \sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

4. Вычисление площади боковой поверхности:

Боковая поверхность состоит из трех равных равнобедренных треугольников (так как боковые ребра равны ребрам основания).

Чтобы найти площадь боковой поверхности, нам нужна апофема (высота боковой грани).

В правильной пирамиде апофема связана с высотой пирамиды и радиусом вписанной окружности основания. Однако, поскольку все ребра равны, боковые грани — равносторонние треугольники.

Площадь одной боковой грани (равностороннего треугольника) равна:

\[ S_{грань} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей трех таких граней:

\[ S_{бок} = 3 imes S_{грань} = 3 imes 12\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

5. Вычисление площади полной поверхности:

\[ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 12\sqrt{3} + 36\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь полной поверхности пирамиды равна 48√3 см².