4. В треугольнике MPK проведены высоты МО и РН. Найдите ∠MPO и ∠KPH, если даны два угла: ∠MKP = 40°, ∠KMP = 30°.

Задание 4. Треугольник MPK

Дано:

• Высоты МО и РН в треугольнике MPK.
• \( \angle MKP = 40^\circ \)
• \( \angle KMP = 30^\circ \)

Найти: \( \angle MPO \) и \( \angle KPH \).

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник MKP. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \).
2. Найдем угол ∠MPK: \( \angle MPK = 180^\circ - \angle MKP - \angle KMP = 180^\circ - 40^\circ - 30^\circ = 110^\circ \).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник MOP. Угол ∠MOP прямой, то есть \( 90^\circ \) (так как МО — высота).
4. Найдем угол ∠MPO: \( \angle MPO = 180^\circ - \angle KMP - \angle MOP = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ \).
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник RMP. Угол ∠MRP прямой, то есть \( 90^\circ \) (так как РН — высота).
6. Найдем угол ∠KPH: \( \angle KPH = 180^\circ - \angle MKP - \angle MRP = 180^\circ - 40^\circ - 90^\circ = 50^\circ \).

Ответ: \( \angle MPO = 60^\circ \), \( \angle KPH = 50^\circ \).