4) В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Решение:

1. Найдём угол B в треугольнике ABC:
   \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 20° - 60° = 100° \).
2. В прямоугольном треугольнике ABH:
   \( \angle ABH = 90° - \angle A = 90° - 20° = 70° \).
3. BD — биссектриса угла ABC, значит, она делит угол B пополам:
   \( \angle ABD = \frac{\angle B}{2} = \frac{100°}{2} = 50° \).
4. Теперь найдём угол между высотой BH и биссектрисой BD:
   \( \angle DBH = \angle ABD - \angle ABH = 50° - 70° \).
5. Мы получили отрицательный результат, это значит, что мы ошиблись в порядке вычитания. Правильный порядок:
   \( \angle DBH = \angle ABH - \angle ABD = 70° - 50° = 20° \).

Ответ: 20°.