4) В треугольнике АВС АС = BC, AD - высота, угол BAD равен 34°. Найдите угол С.

Давай разберем эту задачу по шагам:

1. Учитываем, что треугольник равнобедренный:

В треугольнике ABC стороны AC и BC равны, значит, он равнобедренный. Углы при основании AB равны: \( ∠A = ∠B \).

2. Используем информацию о высоте:

AD — это высота, проведенная из вершины A к стороне BC. Это значит, что угол ADB равен 90°.

3. Анализируем прямоугольный треугольник ADB:

В прямоугольном треугольнике ADB мы знаем угол BAD = 34° и угол ADB = 90°. Найдем угол B:

\[ ∠B = 180^° - 90^° - 34^° = 56^° \]

4. Находим угол C:

Так как треугольник ABC равнобедренный, \( ∠A = ∠B \). Но это не совсем так. \( ∠A \) в треугольнике ABC — это весь угол при вершине A. У нас есть только часть этого угла (∠BAD = 34°). Угол B, который мы нашли (56°), является углом при основании равнобедренного треугольника ABC.

Итак, \( ∠B = 56^° \). Следовательно, \( ∠A = 56^° \).

Теперь найдем угол C:

\[ ∠C = 180^° - (∠A + ∠B) \]

\[ ∠C = 180^° - (56^° + 56^°) \]

\[ ∠C = 180^° - 112^° \]

\[ ∠C = 68^° \]

Ответ: 68°.