4. В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН — высота, ВС = 25, ВН = 20. Найдите cosA.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, CH — высота.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHB. По теореме Пифагора:

\( CH^2 + HB^2 = BC^2 \)

\( CH^2 + 20^2 = 25^2 \)

\( CH^2 + 400 = 625 \)

\( CH^2 = 625 - 400 = 225 \)

\( CH = √{225} = 15 \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AHC.

Из подобия треугольников ABC, ACH и CBH, мы знаем, что \( \frac{AC}{BC} = \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{CH} \) и \( \frac{BC}{AC} = \frac{BH}{CH} = \frac{CH}{AH} \).

Из \( \frac{BH}{CH} = \frac{CH}{AH} \):

\( \frac{20}{15} = \frac{15}{AH} \)

\( AH = \frac{15 \cdot 15}{20} = \frac{225}{20} = \frac{45}{4} = 11.25 \).

Теперь найдем \( AC \) по теореме Пифагора в треугольнике AHC:

\( AC^2 = AH^2 + CH^2 = (11.25)^2 + 15^2 = (\frac{45}{4})^2 + 225 = \frac{2025}{16} + 225 = \frac{2025 + 225 \cdot 16}{16} = \frac{2025 + 3600}{16} = \frac{5625}{16} \).

\( AC = √{\frac{5625}{16}} = \frac{75}{4} = 18.75 \).

Теперь найдем \( \text{cos} A \) в прямоугольном треугольнике ABC:

\( \text{cos} A = \frac{AC}{AB} \).

Нам нужно найти AB. \( AB = AH + HB = 11.25 + 20 = 31.25 \).

\( \text{cos} A = \frac{18.75}{31.25} = \frac{\frac{75}{4}}{\frac{125}{4}} = \frac{75}{125} = \frac{3}{5} = 0.6 \).

Альтернативный способ:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \text{cos} A = \frac{AC}{AB} \).

Из подобия \( \triangle ABC \backsim \triangle CBH \), имеем:

\( \frac{BC}{AB} = \frac{BH}{BC} \)

\( AB = \frac{BC^2}{BH} = \frac{25^2}{20} = \frac{625}{20} = \frac{125}{4} = 31.25 \).

Из подобия \( \triangle ABC \backsim \triangle ACH \), имеем:

\( \frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC} \).

Нам нужно найти AC.

Мы знаем, что \( CH = 15 \) и \( HB = 20 \), \( BC = 25 \).

Из подобия \( \triangle CBH \backsim \triangle ACH \):

\( \frac{BH}{CH} = \frac{CH}{AH} \text{ (мы это уже использовали)} \)

\( \frac{BC}{AC} = \frac{BH}{CH} = \frac{CH}{AH} \)

\( \frac{25}{AC} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \)

\( AC = \frac{25 \cdot 3}{4} = \frac{75}{4} = 18.75 \).

Теперь \( \text{cos} A = \frac{AC}{AB} = \frac{18.75}{31.25} = \frac{75/4}{125/4} = \frac{75}{125} = \frac{3}{5} \).

Ответ: 3/5