4. В треугольнике ABC ∠A=90°, ∠B = 60°. На стороне AC отмечена точка D так, что ∠DBC=30°, DA = 4 см. Найти AC и расстояние от точки D до стороны BC.

Задание 4. Треугольник ABC

Дано:

• Треугольник ABC.
• \( \angle A = 90^{\circ} \).
• \( \angle B = 60^{\circ} \).
• Точка D на стороне AC.
• \( \angle DBC = 30^{\circ} \).
• \( DA = 4 \) см.

Найти:

• Длину стороны \( AC \).
• Расстояние от точки \( D \) до стороны \( BC \).

Решение:

1. Найдем \( AC \).

В прямоугольном треугольнике ABC:

• \( \angle A = 90^{\circ} \).
• \( \angle B = 60^{\circ} \).
• \( \angle C = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

В треугольнике DBC:

• \( \angle BDC = 180^{\circ} - \angle C - \angle DBC = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ} \).
• Так как \( \angle DBC = \angle C = 30^{\circ} \), то треугольник DBC является равнобедренным с \( DB = DC \).

В прямоугольном треугольнике ABC:

• \( \tan(C) = \frac{AB}{AC} \)
• \( \tan(30^{\circ}) = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow AB = \frac{AC}{\sqrt{3}} \).
• \( \tan(B) = \frac{AC}{AB} \)
• \( \tan(60^{\circ}) = \frac{AC}{AB} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AC = AB \cdot \sqrt{3} \).

У нас есть точка D на AC, и \( DA = 4 \) см.

\( AC = AD + DC \).

В треугольнике DBC:

• \( \angle DBC = 30^{\circ} \), \( \angle C = 30^{\circ} \), \( \angle BDC = 120^{\circ} \).
• По теореме синусов для треугольника DBC: \( \frac{DC}{\sin(30^{\circ})} = \frac{BC}{\sin(120^{\circ})} = \frac{DB}{\sin(30^{\circ})} \).
• Отсюда \( DC = DB \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD:

• \( \angle BAD = 90^{\circ} \).
• \( DA = 4 \) см.
• \( \angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ABD:

• \( \tan(\angle ABD) = \frac{DA}{AB} \)
• \( \tan(30^{\circ}) = \frac{4}{AB} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{AB} \Rightarrow AB = 4\sqrt{3} \) см.

Теперь найдем AC, используя \( AC = AB \cdot \sqrt{3} \):

• \( AC = (4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12 \) см.

2. Найдем расстояние от точки D до стороны BC.

Расстояние от точки D до BC — это длина перпендикуляра, опущенного из D на BC. Обозначим основание перпендикуляра как H. Нам нужно найти DH.

В треугольнике DBC:

• \( DB = DC \) (равнобедренный).
• \( \angle DBC = 30^{\circ} \), \( \angle C = 30^{\circ} \), \( \angle BDC = 120^{\circ} \).

Найдем длину DC (или DB):

\( AC = AD + DC \)

\( 12 = 4 + DC \)

\( DC = 12 - 4 = 8 \) см.

Значит, \( DB = 8 \) см.

Рассмотрим треугольник DBC. Высота DH из D на BC.

В треугольнике DHC (где \( DH \perp BC \) ):

• \( \angle DHC = 90^{\circ} \).
• \( \angle C = 30^{\circ} \).
• \( DC = 8 \) см.

Используем тригонометрию:

• \( \sin(C) = \frac{DH}{DC} \)
• \( \sin(30^{\circ}) = \frac{DH}{8} \)
• \( DH = 8 \cdot \sin(30^{\circ}) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \) см.

Ответ: AC = 12 см, расстояние от точки D до стороны BC равно 4 см.