4. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при боковой стороне. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Для нахождения площади трапеции необходимо знать оба основания и высоту. В данном случае дана высота, одно основание (6) и угол (45°), который позволяет найти высоту и часть большего основания.

• Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, частью большего основания и боковой стороной, видно, что если угол при основании равен 45°, то высота равна отрезку большего основания, прилежащему к этой высоте.
• Так как высота опущена из вершины меньшего основания, то она отсекает от большего основания прямоугольный треугольник с углом 45°. Значит, высота равна части большего основания.
• Пусть высота равна h, а меньшее основание равно b = 6. Отрезок большего основания, равный высоте, равен h.
• Второе основание равно a = 6 + 2h (так как трапеция равнобедренная, то отрезки большего основания по обе стороны от высот, опущенных из вершин меньшего основания, равны).
• Площадь трапеции вычисляется по формуле: S = (a + b) / 2 * h.
• В данном случае, S = (6 + 2h + 6) / 2 * h = (12 + 2h) / 2 * h = (6 + h) * h.
• Поскольку угол равен 45°, то в прямоугольном треугольнике высота равна отрезку большего основания. Если обозначить высоту как 5 (судя по рисунку), то и отрезок большего основания равен 5.
• Тогда большее основание a = 6 + 5 + 5 = 16.
• Площадь S = (16 + 6) / 2 * 5 = 22 / 2 * 5 = 11 * 5 = 55.

Ответ: 55