4. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а высота, проведенная к ней, 12 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник, и радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Основание равнобедренного треугольника b = 10 см, высота h = 12 см. Найдем боковую сторону a. Половина основания равна 10/2 = 5 см. По теореме Пифагора: a^2 = h^2 + (b/2)^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169. a = 13 см. Площадь треугольника S = (1/2) * b * h = (1/2) * 10 * 12 = 60 см^2. Периметр треугольника P = b + 2a = 10 + 2 * 13 = 10 + 26 = 36 см. Радиус вписанной окружности r = S / (P/2) = 60 / (36/2) = 60 / 18 = 10/3 см. Радиус описанной окружности R = (a * b * c) / (4S), где a, b, c - стороны треугольника. В нашем случае: R = (13 * 13 * 10) / (4 * 60) = 1690 / 240 = 169 / 24 см.