4) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины, А равна 1. Найдите длину стороны АС.

1. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Угол В = 120°, значит, углы при основании А и С равны (180° - 120°) / 2 = 30°.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой из вершины В, половиной основания АС и боковой стороной АВ. Угол при вершине В равен 120°/2 = 60°. Угол при основании А равен 30°.
3. В прямоугольном треугольнике, где высота из В равна h, угол при основании 30°, а боковая сторона АВ, имеем: tg(30°) = h / (AC/2). Отсюда AC/2 = h / tg(30°) = 1 / (1/√3) = √3. Следовательно, AC = 2√3.