№ 4. В прямой треугольной призме стороны оснований равны 4 дм, 13 дм и 15дм, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найдите объем призмы.

Решение:

1. Объем прямой призмы вычисляется по формуле: \( V = S_{осн} \cdot h \).
2. Основанием призмы является треугольник со сторонами \( a = 4 \text{ дм}, b = 13 \text{ дм}, c = 15 \text{ дм} \).
3. Найдем площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр: \( p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 13 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16 \text{ дм} \).
4. Площадь основания: \( S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{16 \cdot 36} = 4 \cdot 6 = 24 \text{ дм}^2 \).
5. Боковое ребро призмы равно большей высоте основания. Найдем высоты треугольника.
6. Высота \( h_a \) к стороне \( a=4 \): \( S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot h_a \Rightarrow 24 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h_a \Rightarrow 24 = 2 h_a \Rightarrow h_a = 12 \text{ дм} \).
7. Высота \( h_b \) к стороне \( b=13 \): \( S_{осн} = \frac{1}{2} b \cdot h_b \Rightarrow 24 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h_b \Rightarrow 48 = 13 h_b \Rightarrow h_b = \frac{48}{13} \text{ дм} \).
8. Высота \( h_c \) к стороне \( c=15 \): \( S_{осн} = \frac{1}{2} c \cdot h_c \Rightarrow 24 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h_c \Rightarrow 48 = 15 h_c \Rightarrow h_c = \frac{48}{15} = \frac{16}{5} = 3.2 \text{ дм} \).
9. Большая высота основания равна \( h_a = 12 \text{ дм} \).
10. Высота призмы \( H = 12 \text{ дм} \).
11. Найдем объем призмы: \( V = S_{осн} \cdot H = 24 \text{ дм}^2 \cdot 12 \text{ дм} = 288 \text{ дм}^3 \).

Ответ: 288 дм³.