4. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота CD. Найдите величину угла В, если DA = 4, а АС = 8. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и тригонометрии.

Дано:

• Треугольник ABC - прямоугольный (угол C = 90°).
• CD - высота, проведенная к гипотенузе AB.
• DA = 4.
• AC = 8.

Найти: Угол B.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ADC.

   Так как CD - высота, то угол CDA = 90°.

   В прямоугольном треугольнике ADC:

   • Гипотенуза AC = 8.
   • Катет DA = 4.

   Воспользуемся определением косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

   cos(∠CAD) = прилежащий катет / гипотенуза = DA / AC

   cos(∠CAD) = 4 / 8 = 1/2

   Угол, косинус которого равен 1/2, равен 60°.

   Следовательно, ∠CAD = 60°.

2. Связь углов в треугольнике ABC.

   В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90°.

   Угол CAD (или ∠A) является одним из острых углов треугольника ABC.

   В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

   ∠A + ∠B = 90°

   Так как ∠A = ∠CAD = 60°, то:

   60° + ∠B = 90°

   ∠B = 90° - 60°

   ∠B = 30°.

Ответ:

Угол B равен 30 градусам.