4. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны оснований равны 2, боковые рёбра равны 5. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер АВ, АС, А1В1, А1С1.

Дано:

• Правильная треугольная призма ABC A1B1C1.
• Сторона основания AB = BC = AC = 2.
• Боковое ребро AA1 = BB1 = CC1 = 5.
• Плоскость проходит через середины рёбер: M (середина AB), N (середина AC), P (середина A1B1), Q (середина A1C1).

Найти: Площадь сечения MNPQ.

Решение:

1. Определим вид четырехугольника MNPQ:
   M — середина AB, N — середина AC. По теореме о средней линии треугольника ABC, MN || BC и MN = BC/2 = 2/2 = 1.
   P — середина A1B1, Q — середина A1C1. По теореме о средней линии треугольника A1B1C1, PQ || B1C1 и PQ = B1C1/2 = 2/2 = 1.
   Так как BC || B1C1 (по свойству призмы), то MN || PQ.
   Аналогично, рассматривая треугольники ABB1 и ACC1 (или A1B1B и A1C1C), можно показать, что MP || AN и MQ || BP. Более того, MP и NQ будут параллельны соответствующим боковым ребрам, если рассмотреть сечение плоскостью, проходящей через середины смежных боковых ребер. Но здесь плоскость проходит через середины ребер оснований.
   Рассмотрим треугольники AMN и A1PB1. AM = 1, AN = 1. A1P = 1, A1Q = 1. MN = 1, PQ = 1.
   Теперь рассмотрим средние линии в боковых гранях: MN соединяет середины AB и AC. PQ соединяет середины A1B1 и A1C1. MP соединяет середины AB и A1B1. NQ соединяет середины AC и A1C1.
   В грани ABB1A1, MP соединяет середины AB и A1B1, значит MP || AA1 и MP = AA1/2 = 5/2 = 2.5.
   В грани ACC1A1, NQ соединяет середины AC и A1C1, значит NQ || AA1 и NQ = AA1/2 = 5/2 = 2.5.
   Таким образом, MP = NQ = 2.5 и MP || NQ.
   Четырехугольник MNPQ, у которого противоположные стороны параллельны (MN || PQ, MP || NQ) и равны (MN = PQ = 1, MP = NQ = 2.5), является параллелограммом.
   Далее, MN || BC, а MP || AA1. Так как AA1 \(\perp\) плоскости основания ABC, то AA1 \(\perp\) BC. Следовательно, MP \(\perp\) MN.
   Значит, угол между сторонами MN и MP равен 90°. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.
2. Найдем площадь прямоугольника MNPQ:
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: MN и MP.
   \[ S_{MNPQ} = MN \times MP \] \[ S_{MNPQ} = 1 \text{ см} \times 2.5 \text{ см} = 2.5 \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь сечения MNPQ равна 2.5 см².