4. В параллелограмме PRST провели биссектрису угла RPT, которая пересекла диагональ RT и сторону ST в точках Е и N соответственно. Найдите длину стороны PT, если PR = 9, RE = 6, TE = 4.

Решение:

В параллелограмме PRST проведена биссектриса угла RPT, которая пересекает диагональ RT в точке E и сторону ST в точке N.

Известно, что PR = 9, RE = 6, TE = 4.

По свойству биссектрисы угла, она делит этот угол на два равных. В параллелограмме противоположные стороны равны (PR = ST, PS = RT) и параллельны (PR || ST, PS || RT).

Рассмотрим треугольник PRT. Так как PS || RT, то угол RPT и угол PTR являются накрест лежащими при параллельных прямых PS и RT и секущей PT. Следовательно, \( ∠ RPT = ∠ PTR \).

Поскольку PE — биссектриса угла RPT, то \( ∠ RPE = ∠ EPT \).

Из равенства углов \( ∠ PTR = ∠ EPT \) (так как \( ∠ RPT = ∠ PTR \) и \( ∠ RPE = ∠ EPT \) и \( ∠ RPT = 2∠ RPE \)), следует, что в треугольнике PTE углы \( ∠ EPT = ∠ PTE \). Это означает, что треугольник PTE является равнобедренным с основанием PT.

Следовательно, боковые стороны равнобедренного треугольника равны: \( PT = TE \).

Нам дано, что TE = 4.

Таким образом, длина стороны PT равна 4.

Ответ: 4.