4. В окружности с центром О АС и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 128°. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии.

Что нам дано:

• Окружность с центром в точке О.
• АС и BD — диаметры окружности.
• Центральный угол $$\angle AOD = 128^{\circ}$$.

Что нужно найти:

• Вписанный угол $$\angle ACB$$.

Решение:

Вспомним основные свойства углов, связанных с окружностью:

1. Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности. Он равен дуге, на которую опирается.
2. Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в двух точках. Он равен половине дуги, на которую опирается.

Шаг 1: Определим градусную меру дуги AD.

Так как $$\angle AOD$$ — центральный угол, то градусная мера дуги AD равна градусной мере этого угла:

\[ \text{градусная мера дуги } AD = \angle AOD = 128^{\circ} \]

Шаг 2: Найдем градусную меру дуги AB.

АС — это диаметр, значит, он делит окружность на две полуокружности. Угол $$\angle AOD$$ и $$\angle AOB$$ являются смежными, так как образуют развернутый угол $$\angle BOD$$ (потому что BD - диаметр). Однако, проще заметить, что $$\angle AOD$$ и $$\angle AOB$$ вместе с $$\angle BOD$$ образуют полную окружность, но это не совсем корректно, так как $$\angle AOB$$ и $$\angle COD$$ являются вертикальными углами. Лучше использовать тот факт, что $$\angle AOB$$ и $$\angle COD$$ — вертикальные углы, а $$\angle AOD$$ и $$\angle BOC$$ — тоже вертикальные углы.

Важно: $$\angle AOD$$ и $$\angle BOC$$ — вертикальные углы, так как стороны углов являются продолжениями друг друга. Следовательно, $$\angle BOC = \angle AOD = 128^{\circ}$$.

Также, $$\angle AOB$$ и $$\angle COD$$ — вертикальные углы. Сумма углов вокруг точки О составляет 360°.

\[ \angle AOD + \angle BOC + \angle AOB + \angle COD = 360^{\circ} \]

\[ 128^{\circ} + 128^{\circ} + 2 \times \angle AOB = 360^{\circ} \]

\[ 256^{\circ} + 2 \times \angle AOB = 360^{\circ} \]

\[ 2 \times \angle AOB = 360^{\circ} - 256^{\circ} \]

\[ 2 \times \angle AOB = 104^{\circ} \]

\[ \angle AOB = 52^{\circ} \]

Значит, градусная мера дуги AB также равна 52°.

\[ \text{градусная мера дуги } AB = \angle AOB = 52^{\circ} \]

Шаг 3: Найдем вписанный угол $$\angle ACB$$.

Вписанный угол $$\angle ACB$$ опирается на дугу AB.

Используем формулу: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \times (\text{градусная мера дуги } AB) \]

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \times 52^{\circ} \]

\[ \angle ACB = 26^{\circ} \]

Ответ: 26°.