4. В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке М, МB = 10 см, АМ = 12 см, DC = 23 см. Найлите длины СМ и DM

Решение:

1. Применение теоремы о пересекающихся хордах:

Согласно теореме о пересекающихся хордах (или свойству хорд, пересекающихся внутри круга), произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Для хорд AB и CD, пересекающихся в точке M, это свойство записывается как:

• \[ AM \times MB = CM \times MD \]

2. Подстановка известных значений:

Из условия задачи нам дано:

• \[ AM = 12 \]
• \[ MB = 10 \]
• \[ DC = 23 \]

Мы знаем, что хорда DC состоит из отрезков CM и MD, то есть:

• \[ DC = CM + MD \]
• \[ 23 = CM + MD \]

3. Решение системы уравнений:

У нас есть система из двух уравнений:

1. \[ 12 \times 10 = CM \times MD \]
2. \[ 23 = CM + MD \]

Из первого уравнения получаем:

• \[ 120 = CM \times MD \]

Теперь нам нужно найти два числа, произведение которых равно 120, а сумма равна 23. Это можно решить, составив квадратное уравнение. Выразим MD из второго уравнения:

• \[ MD = 23 - CM \]

Подставим это в первое уравнение:

• \[ 120 = CM \times (23 - CM) \]
• \[ 120 = 23 \times CM - CM^2 \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

• \[ CM^2 - 23 \times CM + 120 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• \[ D = b^2 - 4ac \]
• \[ D = (-23)^2 - 4 \times 1 \times 120 \]
• \[ D = 529 - 480 \]
• \[ D = 49 \]
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{49} = 7 \]

Теперь найдём корни (значения CM):

• \[ CM_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 + 7}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15 \]
• \[ CM_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 - 7}{2 \times 1} = \frac{16}{2} = 8 \]

Таким образом, возможны два варианта для CM:

Вариант 1:

• Если $$CM = 15$$ см, то $$MD = 23 - 15 = 8$$ см.

Вариант 2:

• Если $$CM = 8$$ см, то $$MD = 23 - 8 = 15$$ см.

Оба варианта удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: Отрезки хорды DC равны 8 см и 15 см. То есть, $$CM=15$$ см и $$MD=8$$ см, или $$CM=8$$ см и $$MD=15$$ см.