4. В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке М. Известно, что МВ = 10 см, АМ = 12 см, DC = 23 см. Найдите длины СМ и DM.

Решение:

По свойству пересекающихся хорд в окружности произведение отрезков каждой хорды равно:

\( AM  MB = CM  MD \)

Из условия задачи известно:

• \( AM = 12 \) см
• \( MB = 10 \) см
• \( DC = 23 \) см

Сумма отрезков хорды DC равна 23 см, то есть \( CM + MD = 23 \) см.

Произведение отрезков хорды AB равно:

\( AM  MB = 12  10 = 120 \) см².

Теперь мы имеем систему уравнений:

1. \( CM  MD = 120 \)
2. \( CM + MD = 23 \)

Из второго уравнения выразим MD: \( MD = 23 - CM \).

Подставим это в первое уравнение:

\( CM  (23 - CM) = 120 \)
\( 23CM - CM^2 = 120 \)
\( CM^2 - 23CM + 120 = 0 \)

Решим квадратное уравнение для CM:

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4  1  120 = 529 - 480 = 49 \).

Найдём корни:

\( CM_1 = \frac{-(-23) + √{49}}{2  1} = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15 \) см.

\( CM_2 = \frac{-(-23) - √{49}}{2  1} = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) см.

Если \( CM = 15 \) см, то \( MD = 23 - 15 = 8 \) см.

Если \( CM = 8 \) см, то \( MD = 23 - 8 = 15 \) см.

Таким образом, отрезки хорды CD равны 15 см и 8 см.

Ответ: Длины отрезков СМ и DM равны 15 см и 8 см (или наоборот).