4. Упростите выражение $$\frac{4}{y} + \frac{2}{y-5} + \frac{2y}{25-y^2}$$

4. Упрощение выражения:

Дано выражение: $$\( \frac{4}{y} + \frac{2}{y-5} + \frac{2y}{25-y^2} \)$$

Заметим, что знаменатель 25-y^2 можно представить как -(y^2-25), а y^2-25 как (y-5)(y+5).

Тогда 25-y^2 = -(y-5)(y+5).

Перепишем выражение:

$$\( \frac{4}{y} + \frac{2}{y-5} - \frac{2y}{(y-5)(y+5)} \)$$

Общий знаменатель для всех дробей: y(y-5)(y+5).

Приведем все дроби к общему знаменателю:

$$\( \frac{4 \cdot (y-5)(y+5)}{y(y-5)(y+5)} + \frac{2 \cdot y(y+5)}{y(y-5)(y+5)} - \frac{2y \cdot y}{y(y-5)(y+5)} \)$$

$$\( \frac{4(y^2-25) + 2y^2+10y - 2y^2}{y(y-5)(y+5)} \)$$

$$\( \frac{4y^2-100 + 2y^2+10y - 2y^2}{y(y-5)(y+5)} \)$$

Сгруппируем подобные члены в числителе:

$$\( \frac{(4y^2+2y^2-2y^2) + 10y - 100}{y(y-5)(y+5)} \)$$

$$\( \frac{4y^2+10y-100}{y(y-5)(y+5)} \)$$

Можно попытаться вынести общий множитель 2 из числителя:

$$\( \frac{2(2y^2+5y-50)}{y(y-5)(y+5)} \)$$

Попробуем разложить квадратный трехчлен $$2y^2+5y-50$$. Найдем его корни:

$$y = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(2)(-50)}}{2(2)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 400}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{425}}{4}$$

Так как корни иррациональны, разложить на простые множители не получается. Оставляем как есть.

Ответ: $$\frac{4y^2+10y-100}{y(y-5)(y+5)}$$