4. Упростите выражение. 1) (1/x^2 + 1/y^2 + 1/(x+y)) * (2x+y)/(xy)

Решение:

Сначала приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

\( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{x+y} = \frac{y^2(x+y) + x^2(x+y) + x^2y^2}{x^2y^2(x+y)} \)

Раскроем скобки в числителе:

\( y^2x + y^3 + x^3 + x^2y + x^2y^2 \)

Теперь умножим полученное выражение на \( \frac{2x+y}{xy} \):

\( \left( \frac{y^2x + y^3 + x^3 + x^2y + x^2y^2}{x^2y^2(x+y)} \right) \cdot \frac{2x+y}{xy} \)

Это выражение не упрощается до вида \( \frac{x^2y}{x^2-y^2} \) без дополнительных условий или ошибок в условии.

Проверим возможное упрощение:

\( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{y^2+x^2}{x^2y^2} \)

\( \left( \frac{y^2+x^2}{x^2y^2} + \frac{1}{x+y} \right) \cdot \frac{2x+y}{xy} \)

\( \left( \frac{(y^2+x^2)(x+y) + x^2y^2}{x^2y^2(x+y)} \right) \cdot \frac{2x+y}{xy} \)

\( \left( \frac{xy^2+y^3+x^3+x^2y + x^2y^2}{x^2y^2(x+y)} \right) \cdot \frac{2x+y}{xy} \)

В нижней части изображения есть другая дробь: \( \frac{x^2y^2}{x^2-y^2} \). Вероятно, это ожидаемый результат, но изначальное условие задачи не приводит к такому ответу.