4. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, один из которых равен 13 см. Найдите основания трапеции, если её периметр равен 62 см.

Решение:

Пусть ABCD — равнобокая трапеция, AB = CD — боковые стороны, BC и AD — основания.

Окружность вписана в трапецию. Точка касания окружности с боковой стороной делит эту сторону на два отрезка. Пусть точка касания на стороне AB — точка E. Тогда AE и EB — отрезки боковой стороны.

Известно, что для трапеции, в которую вписана окружность, выполняется свойство: сумма оснований равна сумме боковых сторон ($$AD + BC = AB + CD$$).

Поскольку трапеция равнобокая, AB = CD. Следовательно, $$AD + BC = 2 AB$$.

Периметр трапеции $$P = AD + BC + AB + CD = (AD + BC) + 2 AB$$.

По условию, $$P = 62$$ см.

Подставляем $$AD + BC = 2 AB$$ в формулу периметра:

$$62 = 2 AB + 2 AB = 4 AB$$.

Отсюда находим длину боковой стороны:

$$AB = \frac{62}{4} = 15.5$$ см.

Теперь рассмотрим отрезки, на которые точка касания делит боковую сторону. Пусть один из отрезков равен $$13$$ см.

В равнобокой трапеции, в которую вписана окружность, точка касания делит боковую сторону на отрезки $$x$$ и $$y$$ такие, что $$x = r$$ (радиус вписанной окружности) и $$y = h$$ (высота трапеции). Однако, это не всегда так, более корректно использовать свойство касательных, проведенных из одной точки.

Для описанного четырехугольника, если точка касания на боковой стороне AB делит ее на отрезки AE и EB, то:

• AE = AF (где F — точка касания на AD)
• EB = BG (где G — точка касания на BC)

По условию, один из отрезков равен $$13$$ см. Рассмотрим два случая:

Случай 1: Отрезок AE = $$13$$ см.

Тогда EB = AB - AE = $$15.5 - 13 = 2.5$$ см.

AD = AF + FD, BC = BG + GC. Здесь FD и GC — отрезки от вершины до точки касания на основании.

Используя свойство описанной трапеции, сумма оснований равна сумме боковых сторон:

$$AD + BC = 2 AB = 2 imes 15.5 = 31$$ см.

Отрезки, отсекаемые касательными от вершин, равны:

$$AE = 13$$, $$EB = 2.5$$.

Так как трапеция равнобокая, точка касания делит обе боковые стороны на одинаковые отрезки. Значит, $$CD = 15.5$$ см, и точка касания делит ее на отрезки $$13$$ см и $$2.5$$ см.

Основание $$AD$$ состоит из отрезков, равных отрезкам от вершин параллельных сторон: $$AD = AE + EB'$$, где $$EB'$$ — отрезок на основании, соответствующий точке касания боковой стороны. В данном случае, если принять, что отрезки от вершин при большем основании равны $$13$$ см, то:

$$AD = 13 + 13 = 26$$ см (если $$AE=13$$ и $$DF=13$$)

$$BC = 2.5 + 2.5 = 5$$ см (если $$EB=2.5$$ и $$CG=2.5$$)

Проверим сумму оснований: $$AD + BC = 26 + 5 = 31$$ см. Это совпадает с $$2 AB = 31$$ см.

Случай 2: Отрезок EB = $$13$$ см.

Тогда AE = AB - EB = $$15.5 - 13 = 2.5$$ см.

В этом случае, основания будут:

$$AD = 2.5 + 2.5 = 5$$ см.

$$BC = 13 + 13 = 26$$ см.

Сумма оснований: $$AD + BC = 5 + 26 = 31$$ см. Это также совпадает с $$2 AB = 31$$ см.

В задаче не указано, какое именно основание является большим. Обычно, если не указано, принимается, что отрезки, примыкающие к большему основанию, больше.

Ответ: Основания трапеции равны $$26$$ см и $$5$$ см.