4. Сократите дробь: $$\frac{18x^2-9x+1}{-3x+1}$$

Решение:

Для сокращения дроби разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения \(18x^2 - 9x + 1 = 0\).

Дискриминант: \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 1 = 81 - 72 = 9\).

Корни: \(x_1 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 18} = \frac{9 + 3}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\)

\(x_2 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 18} = \frac{9 - 3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)

Тогда числитель можно записать как \(18(x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{6}) = (3x - 1)(6x - 1)\).

Теперь запишем дробь:

$$ \frac{(3x - 1)(6x - 1)}{-(3x - 1)} $$

Сокращаем общий множитель \((3x - 1)\), при условии, что \(3x - 1 \neq 0\), то есть \(x \neq \frac{1}{3}\).

Получаем:

$$ \frac{6x - 1}{-1} = -(6x - 1) = 1 - 6x $$

Ответ: $$1 - 6x$$